Để tìm điều kiện xác định và rút gọn các biểu thức đã cho trong bài toán, ta sẽ làm theo các bước sau:

### Biểu thức 1:
\[
A = \frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+1}} + \frac{5}{\sqrt{x-1}} + \frac{4}{x-1}
\]

**Điều kiện xác định:**
- \(\sqrt{x+3} \text{ tồn tại} \Rightarrow x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3\)
- \(\sqrt{x+1} \text{ tồn tại} \Rightarrow x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1\)
- \(\sqrt{x-1} \text{ tồn tại} \Rightarrow x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1\)
- \(x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\)

**Điều kiện cuối cùng:**
- \(x > 1\)

**Rút gọn:**
Ta cần tìm mẫu số chung rồi cộng các phân số. Rút gọn biểu thức sẽ mang lại một biểu thức đơn giản hơn.

### Biểu thức 2:
\[
A = \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x-3}} + \frac{\sqrt{x-2}}{2\sqrt{x+3}} + \frac{15 - 4\sqrt{x}}{9 - 4x}
\]

**Điều kiện xác định:**
- \(\sqrt{x} \text{ tồn tại} \Rightarrow x \geq 0\)
- \(\sqrt{x-3} \text{ tồn tại} \Rightarrow x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3\)
- \(\sqrt{x-2} \text{ tồn tại} \Rightarrow x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\)
- \(9 - 4x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{9}{4}\)

**Điều kiện cuối cùng:**
- \(x > 3\)

**Rút gọn:**
Giống như biểu thức trước, cần thống nhất mẫu số và thực hiện các phép cộng để cắt gọn biểu thức.

### Biểu thức 3:
\[
A = \frac{1}{\sqrt{x-1}} + \frac{\sqrt{x}}{x-1} - \frac{4\sqrt{x-4}}{2\sqrt{x+1}}
\]

**Điều kiện xác định:**
- \(\sqrt{x-1} \text{ tồn tại} \Rightarrow x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1\)
- \(\sqrt{x} \text{ tồn tại} \Rightarrow x \geq 0\)
- \(\sqrt{x-4} \text{ tồn tại} \Rightarrow x - 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4\)
- \(\sqrt{x+1} \text{ luôn tồn tại cho } x \geq 0\)

**Điều kiện cuối cùng:**
- \(x \geq 4\)

**Rút gọn:**
Áp dụng các bước tương tự như trên để rút gọn biểu thức này.

### Tổng kết:
1. **Biểu thức 1:** \( x > 1 \)
2. **Biểu thức 2:** \( x > 3 \)
3. **Biểu thức 3:** \( x \geq 4 \)

Việc rút gọn biểu thức cụ thể sẽ cần đến các phép toán cụ thể dựa trên biểu thức đã cho.