Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{x + y} + 3(y + 1) = 5 \\
\frac{2}{x + y} - 5(y + 1) = -1
\end{cases}
\]

Ta đặt \( z = x + y \). Khi đó, chúng ta có thể biến đổi các phương trình như sau:

1. Phương trình đầu tiên:
\[
\frac{1}{z} + 3(y + 1) = 5
\]
\[
\frac{1}{z} = 5 - 3(y + 1)
\]
\[
= 5 - 3y - 3 = 2 - 3y
\]
\[
z = \frac{1}{2 - 3y}
\]

2. Phương trình thứ hai:
\[
\frac{2}{z} - 5(y + 1) = -1
\]
\[
\frac{2}{z} = -1 + 5(y + 1)
\]
\[
= -1 + 5y + 5 = 5y + 4
\]
\[
z = \frac{2}{5y + 4}
\]

Bây giờ chúng ta có hai biểu thức cho \( z \):
\[
\frac{1}{2 - 3y} = \frac{2}{5y + 4}
\]

Để giải phương trình này, ta nhân chéo:
\[
1 \cdot (5y + 4) = 2 \cdot (2 - 3y)
\]
\[
5y + 4 = 4 - 6y
\]
\[
5y + 6y = 4 - 4
\]
\[
11y = 0 \implies y = 0
\]

Thay \( y = 0 \) vào \( z = x + y \):
\[
z = x + 0 = x
\]

Bây giờ ta thay \( y = 0 \) vào một trong hai biểu thức cho \( z \):
\[
z = \frac{1}{2 - 3(0)} = \frac{1}{2} \implies x = \frac{1}{2}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
\[
x = \frac{1}{2}, \quad y = 0
\]

**Kết luận:**
\[
\left( x, y \right) = \left( \frac{1}{2}, 0 \right)
\]