Để giải bài toán, ta sẽ phân tích bốn phần a, b, c và d. Dưới đây là hướng dẫn cho từng phần:

**a) Chứng minh tam giác OAB đồng dạng với tam giác DAB:**

Tam giác OAB và DAB có các góc:

- Góc OAB = Góc DAB (cùng chiếu lên đường thẳng AB),
- Góc AOB = Góc ADB (hai đường chéo cắt nhau tại O và vuông góc tại A);
- Góc A là góc vuông trong cả hai tam giác.

Do đó, theo tiêu chí góc-góc (G-G), ta có:
\[ \triangle OAB \sim \triangle DAB \]

**b) Tính độ dài AD:**

Trong tam giác OAB và DAB, theo định luật tương ứng cho cạnh (vì chúng đồng dạng):

\[
\frac{OA}{AB} = \frac{AD}{AB}
\]
Giả sử AD = h (độ dài cần tính):
\[
OA = OD = \frac{(CD - AB)}{2} = \frac{(9 - 4)}{2} = 2.5 \, \text{cm}
\]

Áp dụng độ dài tương ứng từ tam giác DAB:
\[
\frac{2.5}{4} = \frac{h}{9}
\]

Giải phương trình này cho h:
\[
2.5*9 = 4h \implies 22.5 = 4h \implies h = \frac{22.5}{4} = 5.625 \, \text{cm}
\]

Do đó, độ dài AD = 5.625 cm.

**c) Chứng minh tam giác OAB đồng dạng với tam giác OCD:**

Các góc:

- Góc OAB = Góc OCD (cùng chiếu lên đường thẳng AB);
- Góc OBA = Góc ODC (vì 4 đường chéo và CD vuông góc);
- Góc A và C nằm tại các đỉnh vuông trong cả hai tam giác.

Nên:
\[ \triangle OAB \sim \triangle OCD \]

**d) Tính tỉ số diện tích của tam giác OAB và OCD:**

Diện tích tam giác được tính qua công thức:
\[
S = \frac{1}{2} * \text{đáy} * \text{cao}
\]

Diện tích của tam giác OAB và OCD:

1. Diện tích \( S_{OAB} = \frac{1}{2} * AB * OA \)
2. Diện tích \( S_{OCD} = \frac{1}{2} * CD * OC\)

Vì \( OC = OA = 2.5 \) và \( h = AD = 5.625 \), ta có
\[
S_{OAB} = \frac{1}{2} * 4 * 5.625
\]
\[
S_{OCD} = \frac{1}{2} * 9 * 2.5
\]

Tỉ số diện tích:
\[
\frac{S_{OAB}}{S_{OCD}} = \frac{4 * 5.625}{9 * 2.5} = 2
\]

Vậy, tỉ số diện tích của tam giác OAB và OCD là 2:1.

Nếu cần thông tin hay hướng dẫn thêm, hãy cho mình biết!