Để chứng minh MI là phân giác góc NMP và MI là trung tuyến trong tam giác MNP, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một như sau:

### a. Chứng minh MI là phân giác góc NMP

1. **Giả thiết**: Tam giác MNP đều, nghĩa là MN = MP.
2. **Dựa vào tính chất của tam giác cân**: Góc NMP sẽ được chia thành hai góc bằng nhau nếu MI là phân giác.
3. **Sử dụng định lý**: Trong tam giác cân, đường cao từ đỉnh tới đáy đồng thời là phân giác và trung tuyến.
4. **Dễ dàng kết luận**: Bởi vì MI là đường cao từ M xuống cạnh NP, và MN = MP, nên MI cũng là phân giác của góc NMP.

### b. Chứng minh MI là trung tuyến

1. **Giả thiết đã được thiết lập**: MN = MP.
2. **M là điểm giữa của cạnh NP**. Do đó, MI chia đoạn NP thành hai đoạn bằng nhau: NM = MP.
3. **Sử dụng định lý trung tuyến**: Đường trung tuyến từ một đỉnh đến cạnh đối diện tạo thành hai đoạn bằng nhau trên cạnh đó.
4. **Kết luận**: Do MI chia NP thành hai đoạn bằng nhau, nên MI cũng là trung tuyến của tam giác MNP.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh thành công cả hai yêu cầu.