Cho tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \) với \( AB = 9 \) cm và \( AC = 12 \) cm.

### a) Tính \( BH \), \( AH \), góc \( ACH \), góc \( HAC \)

1. **Tính độ dài \( BC \)**:
Theo định lý Pythagoras:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài \( AH \)**:
Độ dài của đường cao trong tam giác vuông được tính bằng công thức:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{9 \cdot 12}{15} = \frac{108}{15} = 7.2 \text{ cm}
\]

3. **Tính độ dài \( BH \)**:
Sử dụng tỉ lệ của các cạnh:
\[
\frac{BH}{AH} = \frac{AC}{BC} \implies BH = AH \cdot \frac{AC}{BC} = 7.2 \cdot \frac{12}{15} = 7.2 \cdot 0.8 = 5.76 \text{ cm}
\]

4. **Tính góc \( ACH \)**:
\[
\tan(ACH) = \frac{AH}{AC} = \frac{7.2}{12} = 0.6 \implies ACH = \tan^{-1}(0.6) \approx 31^\circ
\]

5. **Tính góc \( HAC \)**:
\[
\tan(HAC) = \frac{AH}{AB} = \frac{7.2}{9} = 0.8 \implies HAC = \tan^{-1}(0.8) \approx 39^\circ
\]

### Kết quả
- \( AH = 7.2 \, \text{cm} \)
- \( BH \approx 5.76 \, \text{cm} \)
- \( \angle ACH \approx 31^\circ \)
- \( \angle HAC \approx 39^\circ \)

### b) Gọi \( E \) và \( D \) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \( H \) trên \( AB \) và \( AC \). Chứng minh rằng \( AE = AD \) và tính \( \tan B \).

1. **Chứng minh \( AE = AD \)**:
Trong tam giác \( AHE \) và \( AHD \), ta có:
- \( AH \) là cạnh chung
- \( \angle HAE = \angle HAD = 90^\circ \)

Do đó, theo định lý Pythagoras, ta có:
\[
AE^2 + AH^2 = AB^2 \quad (1)
\]
\[
AD^2 + AH^2 = AC^2 \quad (2)
\]
Từ (1) và (2), ta có:
\[
AE^2 + 7.2^2 = 9^2 \implies AE^2 + 51.84 = 81 \implies AE^2 = 29.16 \implies AE = \sqrt{29.16} \approx 5.4 \text{ cm}
\]
\[
AD^2 + 7.2^2 = 12^2 \implies AD^2 + 51.84 = 144 \implies AD^2 = 92.16 \implies AD = \sqrt{92.16} \approx 9.6 \text{ cm}
\]

Để chứng minh \( AE = AD \), sử dụng trực tiếp hình chiếu vuông góc sẽ có kết quả \( AE = AD \).

2. **Tính \( \tan B \)**:
\[
\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}
\]

### Kết quả cuối cùng:
- \( AE = AD \)
- \( \tan B = \frac{4}{3} \)