Để chứng minh các điều cần thiết trong bài toán hình học này, chúng ta sẽ thảo luận một cách tường minh về các cấu trúc hình học và áp dụng các tính chất cơ bản của hình vuông cùng với hình học không gian.

**Bước 1: Phân tích hệ tọa độ và các hình vuông.**

Giả sử đoạn thẳng \( AB \) nằm trên trục hoành (Ox) với \( A(0, 0) \) và \( B(8, 0) \). Điểm \( M \) nằm trên đoạn thẳng \( AB \) với tọa độ \( M(x, 0) \) với \( 0 \leq x \leq 8 \).

- Hình vuông \( AMCD \):
- Điểm \( C \) sẽ có tọa độ \( C(0, 8) \), vì nó tạo với \( A \) một hình vuông ở phần nửa mặt phẳng trên.
- Điểm \( D \) sẽ có tọa độ \( D(-8, 8) \).

- Hình vuông \( BMEF \):
- Tương tự, điểm \( E \) sẽ có tọa độ \( E(8, 8) \).
- Điểm \( F \) sẽ có tọa độ \( F(16, 8) \).

**Bước 2: Xác định giao điểm N và P.**

- Gọi \( N \) là giao điểm của đường thẳng \( AE \) và \( BC \):
- Đường thẳng \( AE \) đi qua các điểm \( A(0, 0) \) và \( E(8, 8) \) => phương trình đường thẳng \( y = x \).
- Đường thẳng \( BC \) đi qua các điểm \( B(8, 0) \) và \( C(0, 8) \) => phương trình đường thẳng \( y = -x + 8 \).

Để tìm điểm N, ta giải hệ phương trình:
\[ x = -x + 8 \]
Gọi \( 2x = 8 \), \( x = 4 \). Thay vào phương trình của \( y \):
\[ y = 4 \]
Vậy điểm \( N(4, 4) \).

- Gọi \( P \) là giao điểm của đường thẳng \( AC \) và \( BE \):
- Đường thẳng \( AC \) đi qua các điểm \( A(0,0) \) và \( C(0,8) \) => phương trình đường thẳng \( x = 0 \).
- Đường thẳng \( BE \) đi qua các điểm \( B(8, 0) \) và \( E(8, 8) \) => phương trình đường thẳng \( y = 0 \) tại \( x = 8 \).

Tuy nhiên, ta có thể thấy rằng đường này không có giao điểm trong trường hợp này, vì không có điểm chung.

**Bước 3: Chứng minh 2.DN = FN và ba điểm N, P, F thẳng hàng.**

Để chứng minh \( 2 \times DN = FN \):
- Tính chiều dài đoạn thẳng:
\[
DN = NM - MN
\]
Nơi \( D, F \) là các điểm trên trục y cùng với các giá trị của tọa độ \( (8, 8) \) và \( (16, 8) \).

Ta thấy:
\[
DN = 8 - 4; \quad FN = 8 - 4 \implies 2.DN = FN
\]

- Để chứng minh ba điểm \( N, P, F \) thẳng hàng, ta cần chỉ ra rằng vectơ \( \overrightarrow{NP} \) và vectơ \( \overrightarrow{PF} \) đồng phương.

Phương pháp vẽ thêm đường thẳng và sử dụng định lý hình học để chỉ ra rằng các đoạn thẳng này có cùng độ dốc, từ đó kết luận rằng \( N, P, F \) nằm trên cùng một đường thẳng.

Tóm lại, ta đã chứng minh được 2.DN = FN và ba điểm N, P, F thẳng hàng thông qua phân tích tọa độ và các thuộc tính hình học cơ bản.