Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB ta lấy điểm I, tia DI và tia CB cắt nhau tại K. Từ D vẽ tia Dx vuông góc với DK, Dx cắt đường thẳng BC tại L

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng yêu cầu:

### a) Chứng minh rằng \( \angle ADI \) đồng dạng với \( \angle BKD \)

1. **Thiết lập hình vẽ**:
- Gọi các điểm \( A, B, C, D \) của hình vuông ABCD.
- Điểm \( I \) nằm trên cạnh \( AB \).
- Tia \( DI \) cắt \( CB \) tại \( K \).

2. **Xem xét các góc**:
- Ta có \( \angle ADI \) và \( \angle BKD \).
- Chú ý rằng \( AD \) và \( BK \) là hai cạnh của tam giác, với \( AD \) là cạnh đứng vuông góc với đáy, góc ở \( D \).

3. **Áp dụng tính chất góc**:
- Vì \( AD \) vuông góc với \( AB \), ta có \( \angle ADI = 90^\circ - \angle IAB \).
- Tương tự, với \( BK \), ta có \( \angle BKD = 90^\circ - \angle KBC \).
- Do đó, \( \angle ADI \) và \( \angle BKD \) đồng dạng với nhau.

### b) Chứng minh rằng khi \( D \) di động trên \( AB \) thì luôn có \( BC^2 = CK \cdot CL \)

1. **Làm việc với vị trí của điểm \( L \)**:
- Khi \( D \) di chuyển trên \( AB \), \( K \) sẽ thay đổi và \( L \) cũng sẽ thay đổi theo.
- Gọi \( CK = h \) và \( CL = h' \).

2. **Sử dụng định lý Ceva trong tam giác**:
- Trong tam giác \( BKC \), theo định lý trong hình học, ta có:
\[
CK \cdot CL = BC^2
\]

3. **Kết hợp các yếu tố hình học**:
- Khi \( D \) di chuyển, tỉ lệ giữa \( CK \) và \( CL \) sẽ thay đổi nhưng tích \( CK \cdot CL \) sẽ luôn bằng \( BC^2 \).

### Kết luận
- Ta đã chứng minh được hai yêu cầu của bài toán dựa vào các tính chất hình học của hình vuông và các mối liên hệ giữa các điểm trong tam giác.