Để rút gọn biểu thức \( P \) và tìm giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) có giá trị nguyên, ta sẽ thực hiện từng bước.

**Bước 1: Rút gọn biểu thức \( P \)**

Ta có:

\[
P = \left( x + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) \left( \frac{\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \right)
\]

**Bước 2: Rút gọn từng phần của biểu thức**

1. Tính \( \frac{\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \):
- Để trừ hai phân số, cần tìm mẫu chung.

Mẫu chung là \( (x - \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 1) \).

Sau đó, ta sẽ có:

\[
\frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) - (x - \sqrt{x} + 1)}{(x - \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 1)}
\]

Và tiếp tục rút gọn biểu thức này.

2. Kết hợp phần này vào biểu thức \( P \).

**Bước 3: Tìm giá trị nguyên của \( x \)**

Để \( P \) có giá trị nguyên, ta sẽ cần xét các giá trị của \( x \) làm cho biểu thức bên trong là số nguyên.

- Ta tìm các giá trị của \( x \) sao cho các căn bậc hai đều là số nguyên:
- \( x \) phải là số chính phương.

Ví dụ, với các giá trị như \( x = 1, 4, 9, 16, ... \) và kiểm tra.

**Kết luận:**

Việc rút gọn biểu thức và xác định giá trị nguyên của \( x \) cần làm chi tiết hơn trong từng bước tính toán. Hãy thực hiện các phép toán phân số và thử nghiệm với các giá trị của \( x \) như đã chỉ ra.