Để rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \), ta sẽ làm từng phần một.

### a) Rút gọn biểu thức \( P \)

Biểu thức được cho là:

\[
P = \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} + \frac{3\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} - \frac{15\sqrt{x} - 11}{x + 2\sqrt{x} - 3}
\]

**Bước 1: Rút gọn từng phần riêng lẻ.**

1. **Phần 1: \(\frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3}\)**

- Dễ dàng rút gọn.

2. **Phần 2: \(\frac{3\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1}\)**

- Sử dụng phép chia đối với \((3\sqrt{x} - 2)\) và \((\sqrt{x} - 1)\).

3. **Phần 3: \(- \frac{15\sqrt{x} - 11}{x + 2\sqrt{x} - 3}\)**

- Thay \(x\) bằng \((\sqrt{x})^2\) để dễ thao tác hơn.
- Rút gọn biểu thức này thông qua các phép biến đổi đại số.

**Bước 2: Tính toán và rút gọn**

Sau khi thay thế và rút gọn các biểu thức, ta có thể tập hợp các phần lại để có được dạng rút gọn cuối cùng.

### b) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), ta cần:

1. **Xác định miền xác định của \( P \)** (các giá trị của \( x \) sao cho \( P \) có nghĩa).
2. **Sử dụng đạo hàm** để tìm cực trị. Ta sẽ tính \( P' \) và giải phương trình \( P' = 0 \) để tìm các điểm nghi ngờ là giá trị nhỏ nhất.
3. **Kiểm tra giới hạn** của biểu thức tại những điểm biên và so sánh với giá trị tại các điểm ranh.

### Kết luận

Quá trình rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất có thể phức tạp, nhưng đây là các bước cơ bản để thực hiện. Bạn có thể tiến hành tính toán các giá trị cụ thể để tìm được câu trả lời chính xác. Nếu cần hỗ trợ chi tiết hơn về từng bước, hãy cho tôi biết!