Tìm m để mọi điểm thuộc (C) đều đối xứng qua I(1;2)

Để tìm m sao cho mọi điểm thuộc đường cong (C): \( y = x^3 - 3mx^2 + x - 3m^2 \) đều đối xứng qua điểm \( I(1,2) \), ta lấy một điểm bất kỳ \( A(x_0, y_0) \) trên (C).

Điểm đối xứng của \( A \) qua \( I \) sẽ có tọa độ \( A'(x', y') \) được tính bằng công thức:

\[
x' = 2 - x_0, \quad y' = 4 - y_0
\]

Vì \( A \) thuộc (C) nên \( y_0 = x_0^3 - 3mx_0^2 + x_0 - 3m^2 \).

Để điểm \( A' \) cũng thuộc (C), ta cần có:

\[
y' = (2 - x')^3 - 3m(2 - x')^2 + (2 - x') - 3m^2
\]

Tiến hành thay \( x' = 2 - x_0 \) vào phương trình trên, ta sẽ được một phương trình cho \( m \). Sau khi giải, chúng ta tính toán để tìm giá trị cụ thể của \( m \).

### Phần b
Để tìm m sao cho đường thẳng \( (d): y = x + 1 \) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt, ta thay \( y = x + 1 \) vào phương trình của (C):

\[
x + 1 = x^3 - 3mx^2 + x - 3m^2
\]

Sắp xếp lại để có một phương trình bậc 3:

\[
x^3 - 3mx^2 - 3m^2 - 1 = 0
\]

Để phương trình bậc 3 này có 3 nghiệm phân biệt, điều kiện là Đạo hàm \( f'(x) \) của phương trình phải có 2 nghiệm phân biệt và phương trình \( f(x) \) phải có giá trị khác dấu ở hai đầu.

Tiến hành giải hai bài toán này, bạn sẽ tìm được giá trị của \( m \).