Để chứng minh tam giác ABC vuông và tính các tỉ số lượng giác của các góc, chúng ta bắt đầu với các cạnh đã cho:

- \( AB = a\sqrt{5} \)
- \( BC = a\sqrt{3} \)
- \( AC = a\sqrt{2} \)

### a) Chứng minh tam giác ABC vuông

Chúng ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras để chứng minh tính vuông của tam giác ABC. Theo định lý Pythagoras, một tam giác sẽ vuông nếu bình phương cạnh dài nhất bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại.

Trước hết, xác định cạnh dài nhất trong tam giác:

- \( AB = a\sqrt{5} \)
- \( BC = a\sqrt{3} \)
- \( AC = a\sqrt{2} \)

Ta có \( a\sqrt{5} > a\sqrt{3} > a\sqrt{2} \), do đó \( AB \) là cạnh dài nhất.

Bây giờ áp dụng định lý Pythagoras:

\[
AB^2 = AC^2 + BC^2
\]
Thay các giá trị vào:
\[
(a\sqrt{5})^2 = (a\sqrt{2})^2 + (a\sqrt{3})^2
\]
\[
5a^2 = 2a^2 + 3a^2
\]
\[
5a^2 = 5a^2
\]

Vì đẳng thức trên đúng, ta chứng minh được rằng tam giác ABC vuông tại B.

### b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B (và từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A)

Tam giác ABC vuông tại B, do đó ta có các tỉ số lượng giác cho góc B như sau:

- **Sin B:**
\[
\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}
\]

- **Cos B:**
\[
\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}
\]

- **Tan B:**
\[
\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}
\]

Từ ba tỉ số trên, ta có:

- \(\sin B = \frac{\sqrt{10}}{5}\)
- \(\cos B = \frac{\sqrt{15}}{5}\)
- \(\tan B = \frac{\sqrt{6}}{3}\)

Vì tam giác ABC vuông tại B:

- **Sin A:**
\[
\sin A = \cos B = \frac{\sqrt{15}}{5}
\]

- **Cos A:**
\[
\cos A = \sin B = \frac{\sqrt{10}}{5}
\]

- **Tan A:**
\[
\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{5}}{\frac{\sqrt{10}}{5}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{15}{10}} = \sqrt{\frac{3}{2}}
\]

Tóm lại:

- Tỉ số lượng giác cho góc B:
- \(\sin B = \frac{\sqrt{10}}{5}, \cos B = \frac{\sqrt{15}}{5}, \tan B = \frac{\sqrt{6}}{3}\)

- Tỉ số lượng giác cho góc A:
- \(\sin A = \frac{\sqrt{15}}{5}, \cos A = \frac{\sqrt{10}}{5}, \tan A = \sqrt{\frac{3}{2}}\)