Để chứng minh \( A1 \parallel CK \), ta sử dụng các định lý về góc trong các đường thẳng song song.

1. Từ hình vẽ, ta có:
- \( \angle IAB = 30^\circ \)
- \( \angle ABC = 80^\circ \)
- \( \angle BCK = 50^\circ \)

2. Tính \( \angle ACB \) bằng cách sử dụng tổng ba góc của tam giác \( ABC \):
\[
\angle ACB = 180^\circ - \angle IAB - \angle ABC = 180^\circ - 30^\circ - 80^\circ = 70^\circ
\]

3. Bây giờ, xem xét góc \( \angle BCK \):
- Ta có \( \angle BCK = 50^\circ \)

4. Chúng ta nhận thấy rằng:
\[
\angle ACB + \angle BCK = 70^\circ + 50^\circ = 120^\circ
\]

5. Các góc đồng vị \( \angle A1AB \) và \( \angle BCK \) liên quan:
- \( \angle A1AB = \angle IAB = 30^\circ \)
- \( \angle IAC = \angle ABC + \angle ACB = 80^\circ + 70^\circ = 150^\circ \)

6. Ta cần chứng minh \( \angle A1AB = \angle BCK \):
- Thực hiện để thấy rằng \( A1 \parallel CK \), vì tổng độ hai góc trong cùng một phía (góc ngoài và góc trong) bằng \( 180^\circ \).

Do đó, theo định lý về các đường thẳng song song, ta có thể khẳng định rằng:

\[
A1 \parallel CK
\]

Vậy ta đã chứng minh được \( A1 \parallel CK \).