Chúng ta sẽ giải lần lượt từng phần của bài toán:

### a. \( \frac{2}{3} < 2 - \frac{5}{6} \)

Trước tiên, ta tính giá trị bên phải:
\[
2 - \frac{5}{6} = \frac{12}{6} - \frac{5}{6} = \frac{7}{6}
\]

So sánh:
\[
\frac{2}{3} = \frac{4}{6} \quad \text{và} \quad \frac{7}{6}
\]
Rõ ràng:
\[
\frac{4}{6} < \frac{7}{6}
\]
Do đó, bất đẳng thức này đúng.

### b. \( \frac{57}{4} \times \frac{32}{24} < x < \frac{100}{21} \div \frac{25}{126} \)

Tính toán từng phần:

1. Tính \( \frac{57}{4} \times \frac{32}{24} \):
\[
\frac{32}{24} = \frac{4}{3} \quad \text{do đó} \quad \frac{57}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{57}{3} = 19
\]

2. Tính \( \frac{100}{21} \div \frac{25}{126} \):
\[
\frac{100}{21} \times \frac{126}{25} = \frac{100 \times 126}{21 \times 25} = \frac{12600}{525} = 24
\]

Vậy ta có:
\[
19 < x < 24
\]

### c. \( \frac{2}{3} < \frac{x}{6} < 1 \)

Giải bất đẳng thức này:
1. Từ \( \frac{2}{3} < \frac{x}{6} \):
\[
x > \frac{2}{3} \times 6 = 4
\]

2. Từ \( \frac{x}{6} < 1 \):
\[
x < 6
\]

Vậy:
\[
4 < x < 6
\]

### d. \( 1 < \frac{6}{x} < 2 \)

Giải từng phần:
1. Từ \( 1 < \frac{6}{x} \):
\[
x < 6
\]

2. Từ \( \frac{6}{x} < 2 \):
\[
x > 3
\]

Vậy:
\[
3 < x < 6
\]

### Tổng hợp kết quả:
a. Đúng.
b. \( 19 < x < 24 \)
c. \( 4 < x < 6 \)
d. \( 3 < x < 6 \)

Nếu có thắc mắc hay yêu cầu khác, hãy cho mình biết!