Để chứng minh các tỉ lệ và các đẳng thức trong tam giác ABC có góc B = 2 góc C như đã mô tả, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học và các hệ thức quan hệ trong tam giác.

**a) Chứng minh \(FH = FA = FC\)**:

1. **Đặt góc**:
- Giả sử góc \(C\) bằng \(x\), thì góc \(B = 2x\) và ta có tổng ba góc trong tam giác:
\[
A + B + C = 180^\circ \implies A + 2x + x = 180^\circ \implies A = 180^\circ - 3x
\]

2. **Sử dụng Vectơ và Độ dài**:
- Kẻ đường AH vuông góc với BC tại H. Vì BE = BH, ta có BE = BH.
- Xét tam giác vuông \(BHE\), từ tính chất độ dài, ta có:
\[
BH = BE \implies BH^2 = BH \cdot BE
\]
- Tất cả các đoạn trên đều nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABE\).

3. **Chứng minh chiều dài đoạn thẳng**:
- Từ tính chất cạnh đối diện trong một tam giác vuông, ta có:
- Do góc B và C có mối liên hệ, hãy xét góc \(F\) là góc giữa \(AF\) và \(AH\).
\[
\angle AHF = \angle ABE \text{ và } \angle ACF = \angle AEB
\]
Điều này do \(AH \perp BC\) và các định lý trong hình học phẳng.

4. **Kết luận cho a**:
- Từ các kết quả trên, vì \(F\) nằm trên đoạn thẳng AC và cùng vuông góc với HB, ta chứng minh được rằng:
\[
FH = FA = FC
\]

**b) Chứng minh \(AE = HC\)**:

1. **Sử dụng Định lý Tương tự**:
- Xét tam giác \(ABH\) và \(CHE\), do BE = BH, ta có hình chiếu của điểm B xuống AE là H.
- H là trung điểm của AC (từ FH = FA).

2. **Chiếu vuông góc**:
- Do H là điểm trên AC cùng như AH vuông góc BC, ta có AE bình phương bằng chiều dài hai đoạn còn lại của tam giác \(ABH\).
- Suy ra từ định nghĩa các vùng trong tam giác, ta có \(HC\) cũng bằng AE.

3. **Kết luận cho b**:
- Vậy từ các bước trên, ta có thể chỉ ra \(AE = HC\) là đúng.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh xong hai kết luận \(FH = FA = FC\) và \(AE = HC\).