Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số

Để tìm số giá trị nguyên dương của \(m\) sao cho hàm số

\[
y = \frac{mx - m + 1}{2 - mx}
\]

đồng biến trên khoảng \((- \infty, 5)\), ta cần xét điều kiện đồng biến của hàm số này.

1. **Tính đạo hàm**: Để hàm số đồng biến trên \((- \infty, 5)\), đạo hàm của nó phải không âm trong khoảng này.

Sử dụng quy tắc đạo hàm tỉ số, ta có:
\[
y' = \frac{(2 - mx)(m) - (mx - m + 1)(-m)}{(2 - mx)^2}
\]

Đơn giản hóa biểu thức trong tử:
\[
y' = \frac{m(2 - mx) + m(mx - m + 1)}{(2 - mx)^2} = \frac{2m - m^2x + m^2x - m^2 + m}{(2 - mx)^2} = \frac{(2 + m - m^2)}{(2 - mx)^2}
\]

Do đó, điều kiện để \(y'\) không âm là:
\[
2 + m - m^2 \geq 0
\]

2. **Giải bất phương trình**:
Ta có bất phương trình bậc hai:
\[
-m^2 + m + 2 \geq 0 \implies m^2 - m - 2 \leq 0
\]
Có thể viết lại thành:
\[
(m - 2)(m + 1) \leq 0
\]
Từ đó, ta tìm được các khoảng nghiệm:
- Nghiệm \(m = 2\) và \(m = -1\).
- Hàm bậc 2 này có dạng parabol mở lên nên \(m\) nằm trong khoảng \([-1, 2]\).

3. **Giá trị nguyên dương**:
Các giá trị nguyên trong khoảng \([-1, 2]\) là \(0, 1, 2\). Nhưng chỉ có các giá trị nguyên dương nên ta có \(1, 2\).

**Kết luận**: Có **2 giá trị nguyên dương của \(m\)** là \(1\) và \(2\) để hàm số đồng biến trên khoảng \((- \infty, 5)\).