Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

Để tìm giá trị nguyên của \( x \) sao cho biểu thức

\[
A = \frac{25 - 2x}{x - 5}
\]

đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định miền xác định**: Biểu thức sẽ không xác định khi \( x - 5 = 0 \) hay \( x = 5 \). Vậy miền xác định là \( x \in \mathbb{R} \setminus \{5\} \).

2. **Tính đạo hàm**:

Ta sẽ tính đạo hàm của \( A \):

\[
A = \frac{25 - 2x}{x - 5}
\]

Sử dụng quy tắc đạo hàm của thương:

\[
A' = \frac{(x - 5)(-2) - (25 - 2x)(1)}{(x - 5)^2}
\]

Đơn giản hóa đạo hàm:

\[
A' = \frac{-2x + 10 - 25 + 2x}{(x - 5)^2} = \frac{-15}{(x - 5)^2}
\]

Đạo hàm \( A' \) luôn âm với \( x \neq 5 \), điều này cho thấy \( A \) là một hàm giảm trên miền xác định.

3. **Tìm giá trị tại các đầu miền**:

Khi \( x \) tiến gần tới 5 từ bên trái và bên phải, giá trị của \( A \) tiến về \( -\infty \). Do đó, hàm không có giá trị lớn nhất.

Ta xét các giá trị nguyên xung quanh 5:

- Khi \( x = 4 \):
\[
A(4) = \frac{25 - 8}{4 - 5} = \frac{17}{-1} = -17
\]

- Khi \( x = 6 \):
\[
A(6) = \frac{25 - 12}{6 - 5} = \frac{13}{1} = 13
\]

4. **Kết luận**:
- Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( -17 \) khi \( x = 4 \).
- Không có giá trị lớn nhất.

Do đó, giá trị nguyên của \( x \) đạt giá trị nhỏ nhất là \( x = 4 \) và không có giá trị nào đạt giá trị lớn nhất.