Để chứng minh rằng tứ giác AHCD là hình chữ nhật, ta sẽ chứng minh hai điều kiện: AH là cạnh dài và CD song song với AH, đồng thời chiều dài AH bằng chiều dài CD.

1. **Xác định các điểm**:
- Gọi A, B, C là ba điểm trong tam giác ABC, với AH là đường cao từ A đến BC.
- I là trung điểm của AC, tức là \( I = \left(\frac{A + C}{2}\right) \).
- D là điểm đối xứng với H qua I, nghĩa là khi vẽ đường thẳng nối I với H và tiếp tục nối I với D thì IH = ID.

2. **Chứng minh CD song song với AH**:
- Ta biết rằng điểm D là hình chiếu của H qua I, nên vector \( IH \) và vector \( ID \) có cùng độ dài. Do đó, góc IHD sẽ bằng góc IHA.
- Vì AH là một đường vuông góc với BC, và I là trung điểm của AC, nên điểm D sẽ nằm trên đường thẳng vuông góc với AC thông qua I. Do đó, ta có thể kết luận rằng CD sẽ vuông góc với AC, mà AC lại là đường chéo nên CD và AH song song.

3. **Chứng minh AH = CD**:
- Xét tam giác IAH và tam giác ICD. Ta có:
- \( I \) là trung điểm của \( AC \), nghĩa là \( IA = IC \).
- \( IH = ID \) theo tính chất đối xứng.
- Góc AHI = Góc DHI = 90 độ (vì AH vuông góc với BC).
- Từ đó, áp dụng định lý Pythagoras, ta thấy
\[
AH^2 = AI^2 + IH^2
\]
\[
CD^2 = IC^2 + ID^2
\]
- Bởi vì \( AI = IC \) và \( IH = ID \), nên ta kết luận rằng \( AH = CD \).

Như vậy, bằng cách chứng minh rằng \( CD \) song song với \( AH \) và có cùng độ dài với \( AH \), chúng ta sẽ kết luận rằng tứ giác \( AHCD \) là hình chữ nhật.

Do đó, tứ giác \( AHCD \) là hình chữ nhật, như yêu cầu.