Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị nguyên dương của \( m \) làm cho đường thẳng \( y = x + m \) cắt đồ thị hàm số \( y = \frac{2x - 1}{x + 1} \) tại hai điểm phân biệt \( A \) và \( B \) sao cho \( AB \leq 4 \).

### Bước 1: Giải phương trình cắt nhau

Đặt:

\[
x + m = \frac{2x - 1}{x + 1}
\]

Khi giải phương trình này, ta nhân hai vế với \( x + 1 \) (điều kiện là \( x \neq -1 \)):

\[
(x + m)(x + 1) = 2x - 1
\]

Cụ thể, mở rộng vế trái:

\[
x^2 + (m + 1)x + m = 2x - 1
\]

Sắp xếp lại ta có:

\[
x^2 + (m - 1)x + (m + 1) = 0
\]

### Bước 2: Để hai nghiệm phân biệt

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần là:

\[
b^2 - 4ac > 0
\]

Với \( a = 1, b = m - 1, c = m + 1 \):

\[
(m - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 1) > 0
\]

Giải bất phương trình:

\[
(m - 1)^2 - 4(m + 1) > 0
\]
\[
m^2 - 2m + 1 - 4m - 4 > 0
\]
\[
m^2 - 6m - 3 > 0
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
m = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 12}}{2} = \frac{6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 3\sqrt{2}
\]

### Bước 3: Tính khoảng nguyên

Tính giá trị khoảng này:

\[
3 - 3\sqrt{2} \approx 3 - 3 \cdot 1.414 = 3 - 4.242 = -1.242
\]
\[
3 + 3\sqrt{2} \approx 3 + 4.242 = 7.242
\]

Vậy \( m \) phải thuộc khoảng \( m < 3 - 3\sqrt{2} \) hoặc \( m > 3 + 3\sqrt{2} \). Chúng ta lấy khoảng nguyên dương, nên ta chỉ xét phần bên phải:

**Khoảng hợp lệ cho \( m \): \( m > 7.242 \)**. Kết luận ta có \( m \geq 8 \).

### Bước 4: Đo khoảng cách \( AB \)

Tính \( AB \):

Nghiệm \( x_1, x_2 \) của phương trình là:

\[
x_{1,2} = \frac{-(m-1) \pm \sqrt{(m-1)^2 - 4(m+1)}}{2}
\]

Khoảng cách:

\[
AB = |x_1 - x_2| = \frac{2\sqrt{(m-1)^2 - 4(m+1)}}{2} = \sqrt{(m-1)^2 - 4(m+1)}
\]

Nên phải thỏa mãn \( \sqrt{(m-1)^2 - 4(m+1)} \leq 4 \).

### Bước 5: Giải bất phương trình khoảng cách

Giải:

\[
(m-1)^2 - 4(m+1) \leq 16
\]

\[
m^2 - 2m + 1 - 4m - 4 \leq 16
\]
\[
m^2 - 6m - 19 \leq 0
\]

Giải phương trình:

\[
m = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 76}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{28}}{2} = 3 \pm \sqrt{28}
\]
\[
\sqrt{28} \approx 5.291 \Rightarrow 3 - 5.291 \text{ (là âm) và } 3 + 5.291 \text{ (là } 8.291)
\]

**Kết luận:** \( m \) nguyên dương: \( 8 \leq m \leq 8\), chỉ có 1 số nguyên dương thoả mãn.

Vậy có **1 số nguyên dương m** thỏa mãn yêu cầu.