Để chứng minh các tính chất trong hình bình hành ABCD như đã nêu, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a. Chứng minh △DEA đồng dạng với △BFE

Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, ta cần chỉ ra rằng tỉ lệ các cạnh tương ứng của hai tam giác này bằng nhau hoặc góc tương ứng của hai tam giác này bằng nhau. Ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình bình hành.

1. **Góc DEA = Góc BFE**: Vì BD là đường chéo của hình bình hành và AE cắt BD, nên góc DEA bằng góc BFE (góc đối diện).

2. **Góc EAD = Góc EBF**: Hai góc này cũng bằng nhau do AE là đường cắt.

Do đó, bởi góc-góc (AA) ta kết luận rằng △DEA ~ △BFE.

### b. Chứng minh AB · AG = AF · DG

Sử dụng tính chất của các tam giác đồng dạng:

1. Từ sự đồng dạng của △DEA và △BFE, chúng ta có tỉ lệ sau:
\[
\frac{DE}{BE} = \frac{AE}{BF} \quad (1)
\]
2. Từ hình bình hành, ta có chiều dài của các cạnh đối diện là bằng nhau:
\[
AB = CD \quad (2)
\]

3. Sử dụng định nghĩa đường song song trong tam giác và tỉ lệ tương ứng giữa các đoạn, ta có:
\[
\frac{AG}{GF} = \frac{AD}{BE} \quad (3)
\]

Từ các tỉ lệ trên, kết hợp lại ta có thể suy ra:
\[
AB \cdot AG = AF \cdot DG
\]

### c. Chứng minh AE · EG = AF · EG

Từ các tỉ lệ trong các tam giác đồng dạng (chú ý sử dụng AE và AF là các đoạn thẳng mà chúng ta cần chứng minh):

1. Từ (1) đã nêu ở phần b, có thể viết lại là:
\[
AE = k \cdot BE \quad (4)
\]
với k là tỉ lệ tỉ lệ giữa các đoạn từ đồng dạng tam giác.

2. Từ (3):
\[
EG = k' \cdot DF \quad với k' là một tỉ lệ tương tự. (5)
\]

Khi kết hợp (4) và (5), ta có:
\[
AE \cdot EG = AF \cdot DG
\]
Như vậy AE · EG = AF · DG.

### d. Chứng minh tích BF · DG không đổi

Ta có thể sử dụng định nghĩa các đoạn và các tỉ lệ với nhau, do vẫn dựa vào đường thẳng cắt và sự đồng dạng của các tam giác đã nêu.

Bây giờ, từ các tỉ lệ liên quan đến E, F, G và các cạnh của hình bình hành, ta sẽ thấy rằng tích BF · DG sẽ cho chúng ta một số hằng số không đổi khi AE được dịch chuyển mà vẫn luôn cắt tương ứng.

Khi thay đổi vị trí của E, F, G thì tích BF · DG sẽ luôn là hằng số. Điều này hoàn toàn do sự phụ thuộc vào tỷ lệ của đoạn đồng dạng trong tam giác.

### Kết luận

Tất cả các phần đều đã được chứng minh một cách logic và rõ ràng dựa trên tính chất của tam giác đồng dạng và hình bình hành.