Chúng ta hãy làm từng bài một:

### Bài 1: Giải phương trình
Phương trình đã cho là:
\[
(x^2 + 3)(x + 1) + x = -1
\]
Đầu tiên, chúng ta sẽ đưa -1 sang phía bên trái của phương trình:
\[
(x^2 + 3)(x + 1) + x + 1 = 0
\]
Giải phương trình từng bước, ta có:

Bước 1: Mở rộng vế trái:
\[
(x^2 + 3)(x + 1) = x^3 + x^2 + 3x + 3
\]

Bước 2: Thay vào phương trình:
\[
x^3 + x^2 + 3x + 3 + x + 1 = 0
\]
\[
x^3 + x^2 + 4x + 4 = 0
\]

Bây giờ, hãy thử giá trị nguyên để tìm nghiệm. Thử giá trị \(x = -2\):
\[
(-2)^3 + (-2)^2 + 4(-2) + 4 = -8 + 4 - 8 + 4 = -8 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]
Thử \(x = -1\):
\[
(-1)^3 + (-1)^2 + 4(-1) + 4 = -1 + 1 - 4 + 4 = 0 \quad (\text{là nghiệm})
\]

Chúng ta có một nghiệm \(x_1 = -1\).

Chia phương trình \(x^3 + x^2 + 4x + 4\) cho \(x + 1\) bằng cách thực hiện phép chia đa thức hoặc bạn có thể sử dụng hằng đẳng thức:
\[
x^3 + x^2 + 4x + 4 = (x + 1)(Ax^2 + Bx + C)
\]
Tìm các hệ số A, B, C sẽ giúp chúng ta biết được đa thức còn lại.

Thực hiện phép chia, ta tìm ra phương trình bậc 2 còn lại, là:
\[
x^2 + 3 = 0 \quad (\text{Vì }\ x^3 + x^2 + 4x + 4 = (x + 1)(x^2 + 3))
\]
Giải phương trình \(x^2 + 3 = 0\):
\[
x^2 = -3 \Rightarrow x = \pm i\sqrt{3}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
x_1 = -1, \quad x_2 = i\sqrt{3}, \quad x_3 = -i\sqrt{3}
\]

### Bài 2: Chứng minh
#### a) \(15^n + 15^{n+2}\) chia hết cho 113 với \(n\) là số tự nhiên

Ta có:
\[
15^{n+2} = 15^n \cdot 15^2
\]
Vì vậy:
\[
15^n + 15^{n+2} = 15^n (1 + 15^2)
\]
Tính \(15^2 = 225\):
\[
1 + 15^2 = 1 + 225 = 226
\]
Phân tích \(226\):
\[
226 = 2 \times 113
\]
Do đó, \(15^n (1 + 15^2) = 15^n \cdot 226\) chia hết cho 113.

#### b) \(n^4 - n^2\) chia hết cho 4 với \(n\) là số nguyên

Ta viết lại:
\[
n^4 - n^2 = n^2 (n^2 - 1) = n^2 (n - 1)(n + 1)
\]
Trong ba số liên tiếp \(n-1\), \(n\), \(n+1\) sẽ luôn có ít nhất một số chẵn. Do đó, \(n(n-1)(n+1)\) có ít nhất một số chia hết cho 2. Hơn nữa, với ba số này, sẽ luôn có ít nhất một số chia hết cho 2 (từ tính chất của số chẵn và lẻ). Thêm vào đó, hai số chẵn sẽ chia cho 2 để tạo ra một số chia hết cho \(2^2 = 4\).

Vậy \(n^4 - n^2\) chia hết cho 4 với \(n\) là số nguyên.

Kết luận chúng ta đã chứng minh cả hai yêu cầu:
a) Chia hết cho 113, b) Chia hết cho 4.