Để giải bài toán này, ta cần xác định vị trí điểm \( M \) trên đoạn \( AB \) sao cho diện tích của tam giác \( AHB \) là lớn nhất.

1. **Đặc điểm hình học của tam giác**: Trong tam giác vuông cân \( ABC \) tại \( A \), \( AB = AC \). Đoạn \( AD \) là trung tuyến, chia đoạn \( BC \) thành hai đoạn đều nhau.

2. **Ký hiệu điểm**: Gọi \( N \) và \( P \) lần lượt là hình chiếu của điểm \( M \) lên \( AB \) và \( AC \). Đường thẳng \( NH \) vuông góc với \( PD \) tại \( H \).

3. **Diện tích tam giác**: Diện tích của tam giác \( AHB \) có thể tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH
\]
Dựa vào hình chiếu, \( AH \) sẽ là chiều cao từ \( A \) đến cạnh \( HB \).

4. **Tìm giá trị cực đại**: Để diện tích \( S \) đạt giá trị lớn nhất, bạn cần tìm vị trí của \( M \) sao cho chiều cao \( AH \) là lớn nhất.

5. **Giải thích**: Khi \( M \) di chuyển gần về trung điểm của \( AB \) và \( AC \) (gần \( D \)), chiều cao \( AH \) sẽ lớn nhất, từ đó diện tích \( S \) cũng lớn nhất.

Vậy, để tam giác \( AHB \) có diện tích lớn nhất, điểm \( M \) nên nằm ở trung điểm của đoạn \( AB \).