Để chứng minh các mệnh đề đã cho trong tam giác vuông \(ABC\), với \(A\) tại góc vuông, ta bắt đầu với các tính chất cơ bản của hình học và một số dấu hiệu đặc biệt từ định lý phân giác và hình chóp.

### a. Chứng minh \( \triangle ABD \cong \triangle EBD \)

Ta có:
- \(AD\) là phân giác của góc \(B\), do đó theo định lý phân giác ta có:

\[
\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CD}
\]

Ta biết rằng \(DE\) vuông góc với \(BC\), tức là hai tam giác \(ABD\) và \(EBD\) có cạnh \(BD\) chung và góc \(ABE = ADB\) (góc vuông). Từ đó theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (CGC), ta có:

\(\triangle ABD \cong \triangle EBD\)

### b. Gọi \(K\) là giao điểm của \(DE\) và \(AB\). Chứng minh \(DC = DK\)

Trước tiên, vì \(DE \perp BC\) và \(K\) nằm trên \(AB\), nên xét 2 tam giác vuông:

- Tam giác \(BDC\) vuông tại \(D\)
- Tam giác \(DKC\) cũng vuông tại \(K\)

Vì \(BD\) là phân giác của góc \(B\) nên \(DC = DK\).

### c. Chứng minh \(DC > DA\)

Để chứng minh \(DC > DA\), ta sẽ xem xét khoảng cách từ điểm \(D\) tới các tia \(AC\) và \(BC\):

- Vì \(D\) nằm giữa \(A\) và \(C\), ta có \(DA < DC\).

Cụ thể, từ tam giác vuông \(ABD\) và tính chất của phân giác, ta có:

\(\angle DAB < \angle DAC\)

Do đó, suy ra \(DC > DA\).

### d. Gọi \(M\) là trung điểm của \(KC\). Chứng minh 3 điểm \(B, D, M\) thẳng hàng.

Từ việc \(M\) là trung điểm của \(KC\), ta có \(KM = MC\).

Do \(K\) nằm trên \(AB\), nên đường thẳng \(BM\) sẽ chia đều đoạn thẳng \(KC\) tại điểm \(M\).

Vì \(D\) nằm trên phân giác \(AB\) nên kết luận được rằng \(B, D, M\) thẳng hàng theo tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác vuông.

Tất cả các bước chứng minh trên đều cho thấy mối quan hệ giữa các điểm trong tam giác và các tính chất hình học cơ bản.