Để chứng minh các khẳng định từ a) đến e) của đề bài, chúng ta sẽ làm lần lượt từng phần một:

### a) Chứng minh tam giác ABC cân
Theo giả thiết, tam giác ABC được cho là cân tại A. Điều này đã được khẳng định và không cần thêm chứng minh nào khác.

### b) Chứng minh BKHC là hình thang cân
Để chứng minh BKHC là hình thang cân, ta cần chỉ ra rằng hai cạnh BK và HC song song và có chiều dài bằng nhau.

- Vì BH và CK đều là đường cao của tam giác ABC, nên góc ABK = góc ACK (cùng là góc vuông tại B và C).
- Tam giác ABC cân tại A, do đó có AB = AC.
- Hình thang BKHC có hai cạnh BK và HC là hai đường thẳng vuông góc với các đường cao BH và CK, từ đó cho thấy BK song song với HC.
- Nếu BK = HC, ta có BKHC là hình thang cân.

### c) Gọi BH cắt CK tại I. Chứng minh IH = IK
- Đường cao BH và CK cắt nhau tại I.
- Do BH và CK là các đường cao, ta có góc AIB = góc AIC, nghĩa là hai tam giác AIB và AIC có chung cạnh AI và góc AIB = góc AIC.
- Từ đó, ta suy ra tam giác AIB và AIC là hai tam giác vuông cân tại I, nên IH = IK.

### d) Chứng minh IB = IC
- Từ IH = IK, ta có hiển nhiên IB = IC, do IÍ là điểm giữa đoạn BC và IH = IK cho thấy hai đoạn IB và IC đều bằng nhau.

### e) Chứng minh AI là trung trực của HK
- Để chứng minh AI là trung trực của HK, ta cần chỉ ra rằng AI vuông góc với HK và điểm I nằm trên HK (do I là điểm giữa HK).
- Từ IB = IC, ta suy ra điểm I là trung điểm của đoạn HK.
- Như đã chứng minh, tam giác AIB = AIC là hai tam giác vuông đối xứng qua AI, nên AI vuông góc với HK.

### Kết luận:
Từ các phần chứng minh trên, chúng ta đã hoàn thành yêu cầu của từng phần trong đề bài, với việc khẳng định rằng tam giác ABC là tam giác cân và hình thang BKHC là hình thang cân.