Để giải bài toán về tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\), ta hãy thực hiện các phần yêu cầu và vẽ hình như sau:

### Hình vẽ:

1. Vẽ tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
2. Kẻ đoạn thẳng \(AB\) và \(AC\).
3. Xác định đường trung trực của \(AB\) và đánh dấu điểm \(E\) trên đường trung trực.
4. Kẻ đường thẳng \(BC\) và xác định điểm \(F\) là giao điểm giữa đường trung trực \(AB\) và đường thẳng \(BC\).
5. Kẻ đường thẳng vuông góc từ \(F\) đến \(AC\) và đánh dấu điểm \(H\).

### Giải các phần:

a) **Chứng minh \(FA = FB\)**:
- Theo định nghĩa, \(F\) nằm trên đường trung trực của \(AB\), do đó khoảng cách từ \(F\) đến hai đầu mút của đoạn thẳng \(AB\) là bằng nhau, tức là \(FA = FB\).

b) **Chứng minh \(FH \perp AC\)**:
- Điểm \(H\) là giao điểm của đường vuông góc với \(AC\) từ điểm \(F\), vì vậy \(FH \perp AC\).

c) **Chứng minh \(FH = AE\)**:
- Điểm \(E\) là trung điểm của đoạn \(AB\), do đó \(AE = EB\). Bởi vì \(F\) thuộc đường trung trực của \(AB\), và \(FH\) cũng là đoạn cao từ \(F\) xuống \(AC\) (khi \(H \in AC\)), ta có \(FH = AE\).

d) **Chứng minh \(EH = \frac{BC}{2}\) và \(EH \parallel BC\)**:
- \(E\) là trung điểm của \(AB\) và \(H\) nằm giữa \(AE\) và \(E\) các điểm thẳng hàng, do đó \(EH = \frac{AB}{2} = \frac{BC}{2}\) (theo tính chất của tam giác vuông). Vì \(EH\) đi qua điểm \(F\) và vuông góc với \(AC\), nên \(EH\) cũng song song với \(BC\).

### Hình vẽ minh họa:

```
B
|\
| \
| \
| \
| \
A-----C
E---F
```

- Ở đây, \(E\) là trung điểm của \(AB\), \(F\) là giao điểm giữa đường trung trực và \(BC\), \(H\) là điểm vuông góc từ \(F\) đến \(AC\).

Nếu bạn cần thêm chi tiết hoặc cần trợ giúp về phần nào khác, hãy cho tôi biết!