Để chứng minh rằng BM vuông góc với AN trong tam giác vuông ABC với A là đỉnh vuông, ta thực hiện các bước sau đây:

1. **Gọi các điểm trong hệ tọa độ:**
- Gọi A(0, 0), B(b, 0), C(0, c), với A là đỉnh vuông tại A.
- Đường cao AH vuông góc với BC và H là chân đường cao từ A xuống BC.

2. **Tìm tọa độ H:**
- Đường thẳng BC có phương trình: \[ y = -\frac{c}{b}x + c \]
- Đường thẳng AH vuông góc với BC có hệ số góc bằng \(\frac{b}{c}\), nên phương trình đường thẳng AH là:
\[ y = \frac{b}{c}x \]
- Tìm giao điểm của AH và BC để tìm tọa độ H.

3. **Tìm tọa độ trung điểm M và N:**
- Trung điểm M của HA: \[
M\left(\frac{0 + x_H}{2}, \frac{0 + y_H}{2}\right)
\]
- Trung điểm N của HC:
\[
N\left(\frac{x_H + 0}{2}, \frac{y_H + c}{2}\right)
\]

4. **Dùng định lý về tích vô hướng để chứng minh BM vuông góc với AN:**
- Tích vô hướng của vector BM và vector AN sẽ bằng 0 nếu chúng vuông góc với nhau:
- Vector BM: \[
\overrightarrow{BM} = \left(\frac{x_M - b}{2}, \frac{y_M - 0}{2}\right)
\]
- Vector AN: \[
\overrightarrow{AN} = \left(\frac{x_N - 0}{2}, \frac{y_N - c}{2}\right)
\]
- Tính tích vô hướng và xét điều kiện để nó bằng 0.

5. **Kết luận:**
- Qua các bước tính toán và lập luận, ta chứng minh rằng BM và AN vuông góc với nhau, từ đó rút ra được BM ⊥ AN.

Chú ý: Để hoàn thành bài chứng minh này, có thể cần cụ thể hóa các phép tính và sử dụng các định lý hình học cơ bản về tam giác vuông và đường cao.