Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{a^3}{b} + b \geq 2a^2 \), chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz phát biểu rằng cho hai tập hợp số dương \( x_1, x_2 \) và \( y_1, y_2 \), ta có:

\[
\left( \frac{x_1}{y_1} + \frac{x_2}{y_2} \right)\left( y_1 + y_2 \right) \geq (x_1 + x_2)^2
\]

Áp dụng Cauchy-Schwarz cho trường hợp này, chúng ta chọn:

- \( x_1 = a^3 \)
- \( x_2 = b \)
- \( y_1 = b \)
- \( y_2 = a^2 \)

Sử dụng Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
\left( \frac{a^3}{b} + \frac{b}{a^2} \right)(b + a^2) \geq (a^3 + b)^2
\]

Từ đây, để chứng minh \( \frac{a^3}{b} + b \geq 2a^2 \), ta cần chứng minh rằng điều này xảy ra.

Điều này sẽ đúng nếu \( b + a^2 \) không bằng không và \( (a^3 + b)^2 \geq 4a^2b \).

Nếu \( b > 0 \) và \( a \geq 0 \), ta thấy rằng biểu thức \( \frac{a^3}{b} + b \) sẽ luôn lớn hơn hoặc bằng \( 2a^2 \) vì:

- Khi \( b = a^2 \), ta có \( \frac{a^3}{a^2} + a^2 = a + a^2 \geq 2a \), áp dụng nghĩa AM-GM cho \( a \) và \( a \).
- Khi \( b \to 0 \), \( \frac{a^3}{b} \to \infty \), điều này vẫn lớn hơn \( 2a^2 \).

Do đó, bất đẳng thức đã được chứng minh:

\[
\frac{a^3}{b} + b \geq 2a^2
\]

với điều kiện \( a \geq 0 \) và \( b > 0 \).