Để tính thể tích của chiếc bánh kem, trước tiên, ta sẽ tính diện tích đáy của từng tầng lăng trụ và sau đó nhân với chiều cao của chúng để tìm thể tích tổng.

1. **Thông tin đã cho:**
- Thể tích tầng dưới cùng: \( V_1 = 2000 \, \text{cm}^3 \)
- Chiều cao mỗi tầng: \( h = 10 \, \text{cm} \)
- Quan hệ giữa các cạnh: \( a = 2b, b = 2c \)

2. **Tính toán diện tích đáy của tầng dưới cùng:**
Thể tích của lăng trụ được tính bằng công thức:
\[
V = A \cdot h
\]
Trong đó \( A \) là diện tích đáy.

Với tầng dưới cùng:
\[
2000 = A_1 \cdot 10 \quad \Rightarrow \quad A_1 = \frac{2000}{10} = 200 \, \text{cm}^2
\]

3. **Tính diện tích đáy của tầng giữa và tầng trên cùng:**
Do diện tích đáy ở mỗi tầng tỉ lệ với bậc của các cạnh \( a, b, c \):
- Tầng giữa: Diện tích đáy \( A_2 \) sẽ tỷ lệ với \( b^2 \).
- Tầng trên: Diện tích đáy \( A_3 \) sẽ tỷ lệ với \( c^2 \).

Với các tỷ lệ đã cho, có thể xác định:
\[
A_2 = k \cdot b^2 \quad \text{và} \quad A_3 = k \cdot c^2
\]
Với \( b = \frac{a}{2} \) và \( c = \frac{b}{2} \), ta có:
\[
c = \frac{b}{2} = \frac{a}{4}
\]

Để tìm hệ số \( k \), cần biết thể tích tầng giữa và tầng trên để tính diện tích đáy của chúng:
\[
V_2 = A_2 \cdot 10 \quad \text{và} \quad V_3 = A_3 \cdot 10
\]
Bởi vì kích thước tỉ lệ, nếu gọi thể tích tầng dưới cùng là \( 1 \), thì diện tích đáy tầng giữa và trên sẽ được xác định tương ứng.

Giả sử tổng quát:
- Tầng giữa: Diện tích \( A_2 = \frac{A_1}{2} = \frac{200}{2} = 100 \, \text{cm}^2 \)
- Tầng trên: Diện tích \( A_3 = \frac{A_1}{4} = \frac{200}{4} = 50 \, \text{cm}^2 \)

4. **Tính thể tích các tầng:**
- Tầng giữa:
\[
V_2 = A_2 \cdot h = 100 \cdot 10 = 1000 \, \text{cm}^3
\]
- Tầng trên:
\[
V_3 = A_3 \cdot h = 50 \cdot 10 = 500 \, \text{cm}^3
\]

5. **Tính thể tích tổng:**
\[
V_{tổng} = V_1 + V_2 + V_3 = 2000 + 1000 + 500 = 3500 \, \text{cm}^3
\]

Vậy thể tích của chiếc bánh kem là \( 3500 \, \text{cm}^3 \).