Để tính diện tích của tam giác \( AIN \) trong tam giác \( ABC \) có diện tích bằng \( 60 \, \text{cm}^2 \), chúng ta sẽ sử dụng tỷ lệ của các đoạn thẳng.

1. **Xác định các tỷ lệ**:
- Điểm \( M \) chia \( BC \) thành hai đoạn, với \( BM = \frac{1}{3} BC \) và \( MC = \frac{2}{3} BC \).
- Điểm \( N \) chia \( AC \) thành hai đoạn, với \( AN = \frac{1}{2} AC \) và \( NC = \frac{1}{2} AC \).

2. **Tính diện tích tam giác AIN**:
- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác, ta có thể biết rằng diện tích của tam giác \( AIN \) sẽ tỉ lệ với diện tích của tam giác \( ABC \).
- Số tỷ lệ của diện tích triangle AIN cho triangle ABC là:
\[
\text{Tỷ lệ diện tích} = \text{tỷ lệ chiều cao} \times \text{tỷ lệ đáy}
\]
- Chiều cao từ \( A \) xuống \( BC \) bị ảnh hưởng bởi điểm \( M \):
- Tỷ lệ chiều cao tương ứng từ \( A \) tới \( BC \) là \( \frac{2}{3} \) (chiều cao từ A tới M).
- Đáy tương ứng từ \( A \) tới \( N \) là:
- Tỷ lệ đáy là \( \frac{1}{2} \) (đáy từ A tới N).

3. **Công thức tính diện tích tam giác AIN**:
- Diện tích tam giác \( AIN \):
\[
S_{AIN} = S_{ABC} \times \left( \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \right) = 60 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = 60 \times \frac{1}{3} = 20 \, \text{cm}^2
\]

Vậy diện tích của tam giác \( AIN \) là \( 20 \, \text{cm}^2 \).