Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh trung trực của EF đi qua A
1. **Define M and E, F**:
- Gọi M là điểm giữa B và C, do đó \( MB = MC \).
- Gọi E và F sao cho AB và AC lần lượt là đường trung trực của ME và MF.
2. **Tính chất của trung trực**:
- Theo định nghĩa, trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của nó. Do đó:
- \( AE = AB \) và \( AF = AC \).
3. **Kết luận**:
- Vì \( AB = AE \) và \( AC = AF \), nên \( A \) nằm trên trung trực của đoạn EF. Điều này có nghĩa là trung trực của EF đi qua A.

### b) Chứng minh \( BE + CF = BC \)
1. **Xét đoạn BC**:
- Theo định nghĩa, \( M \) là điểm giữa B và C, tức là \( BM = MC \).
2. **Áp dụng tính chất đoạn thẳng**:
- Ta có \( BC = BM + MC \).
3. **Thay thế**:
- \( BE + CF \) sẽ là tổng quãng đường từ B đến E và từ C đến F, trong đó \( BE + CF = BM + MC = BC \).
4. **Kết luận**:
- Do đó, \( BE + CF = BC \).

### c) Tính các góc của tam giác AEF
1. **Tính các góc**:
- Từ định lý về các góc trong tam giác, ta có thể tính các góc trong tam giác AEF. Cụ thể, \( \angle AEF \) và \( \angle AFE \) cần được tính qua các thông tin đã biết.
2. **Congruence**:
- Nếu chứng minh được các tam giác ABE và ACF là đồng dạng hoặc có tính chất tương tự, ta có thể suy ra các góc.

### d) EF cắt AB, AC lần lượt tại I, K
1. **Tương tác với AB và AC**:
- Xét hai đường thẳng AB và AC, ta thấy EF cắt AB tại điểm I và AC tại điểm K.
2. **Chứng minh MA là phân giác của góc IMK**:
- Nếu MA là phân giác, điều này có nghĩa là \( \frac{BI}{AI} = \frac{CK}{AK} \).
- Điều này có thể chứng minh dựa vào các tỉ lệ đoạn thẳng hoặc các định lý về góc.

### Tổng kết:
Bằng cách áp dụng các định lý về đường trung trực và tính chất trong tam giác, ta có thể dễ dàng chứng minh từng phần cho bài toán đề ra.