Cho hệ phương trình

Ta có hệ phương trình:

1. \( x + y = 1 \)
2. \( mx - y = 2m \)

### a) Giải hệ phương trình khi \( m = 1 \)

Thay \( m = 1 \) vào phương trình thứ hai, ta có:

\[
1x - y = 2 \Rightarrow x - y = 2
\]

Ta có hệ phương trình sau:

1) \( x + y = 1 \)
2) \( x - y = 2 \)

Giải hệ này, ta cộng hai phương trình lại với nhau:

\[
(x + y) + (x - y) = 1 + 2 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}
\]

Thay giá trị của \( x \) vào phương trình \( x + y = 1 \):

\[
\frac{3}{2} + y = 1 \Rightarrow y = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}
\]

Vậy nghiệm của hệ khi \( m = 1 \) là \( (x, y) = \left( \frac{3}{2}, -\frac{1}{2} \right) \).

### b) Tìm \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( (x, y) \) sao cho \( x - y = 3 \)

Ta có điều kiện:

\[
x - y = 3
\]

Từ phương trình 1 \( x + y = 1 \), ta có:

\[
y = 1 - x
\]

Thay vào điều kiện \( x - y = 3 \):

\[
x - (1 - x) = 3 \Rightarrow 2x - 1 = 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2
\]

Thay vào phương trình 1 để tìm \( y \):

\[
2 + y = 1 \Rightarrow y = 1 - 2 = -1
\]

Vậy, chúng ta có \( (x, y) = (2, -1) \).

Bây giờ thay vào phương trình số 2 để tìm \( m \):

\[
m(2) - (-1) = 2m \Rightarrow 2m + 1 = 2m
\]

Điều này dẫn đến vô lí. Vậy nghiệm duy nhất tồn tại khi phương trình không phải là tuyến tính, có nghĩa \( m \) phải bằng 0, để phương trình số 2 trở thành \( -y = 0 \).

Tóm lại, \( m = 0 \).

### c) Tìm \( m \in \mathbb{Z} \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( (x, y) \) và \( x, y \) là các số nguyên

Ta cần \( m \) sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Theo các phương trình đã cho thì loại \( m \) sẽ bị ảnh hưởng đến khả năng có nghiệm duy nhất.

Với điều kiện cho \( x - y = k \) cho \( k \) bất kỳ (trong trường hợp này \( k = 3 \)), ta có:

1) Phương trình 1: \( x + y = 1 \)
2) Phương trình 2: \( mx - y = 2m \)

Để nghiệm là số nguyên, ta có thể thử các giá trị của \( m \) trong \( \mathbb{Z} \).

Giải hệ phương trình với giả thiết \( n = x - y\):
Từ \( x = y + 3 \):

\[
y + 3 + y = 1 \Rightarrow 2y + 3 = 1 \Rightarrow 2y = -2 \Rightarrow y = -1 \Rightarrow x = -1 + 3 = 2
\]

Thay vào phương trình 2:

\[
m(2) - (-1) = 2m \Rightarrow 2m + 1 = 2m \Rightarrow 1 = 0 \text{ (vô lý)}
\]

Thử với các giá trị của \( m \) thuộc \( Z \):

- Với \( m = 1 \), không có nghiệm nguyên.
- Thử các giá trị khác cho \( m \): có thể nghiệm được cho các giá trị chẵng hạn như: \( m = 2, 3, ...\)

Kết luận: Không có giá trị nguyên nào của \( m \) cho phép có nghiệm duy nhất với cả \( x \) và \( y \) là số nguyên trong bài toán.

Vậy có thể chọn \( m = 0, 2, 3,... \) sao cho chiều dài phương trình đồng nhất.