Để chứng minh các tính chất của tứ giác AEMN trong bài toán này, ta sẽ tiến hành như sau:

### a) Chứng minh tứ giác AEMN là hình chữ nhật.

1. **Xác định các góc tại M:**
- Do M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
- Do AE ⊥ AB và AN ⊥ AC, nên các góc AEM và AMN đều là góc vuông.

2. **Chứng minh rằng EM = AN:**
- Đoạn EM là chiều cao hạ từ M xuống AB, còn đoạn AN là chiều cao hạ từ M xuống AC. Vì tam giác ABC vuông tại A và M là trung điểm của BC, các chiều cao này sẽ có độ dài bằng nhau trong tam giác vuông.

3. **Kết luận:**
- Tứ giác AEMN có 2 góc vuông và hai cạnh đối diện bằng nhau (EM = AN), do đó AEMN là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác EMNC là hình bình hành.

1. **Xác định các cặp cạnh:**
- EM // NC (vì cả hai đều vuông góc với AB).
- EN // MC (vì cả hai đều vuông góc với AC).

2. **Kết luận:**
- Vì EM // NC và EN // MC, nên tứ giác EMNC có hai cặp cạnh đối diện song song, do đó EMNC là hình bình hành.

### c) Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AEMN là hình gì? Vì sao?

- Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì AB = AC.
- Do đó, góc AEM và góc AMN bằng nhau, và EM = AN.
- Khi đó, tứ giác AEMN sẽ trở thành hình vuông vì nó có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc vuông.

**Kết luận:** Trong trường hợp này, tứ giác AEMN là hình vuông.