Gọi vận tốc của người thứ nhất là \( v_1 \) km/h và vận tốc của người thứ hai là \( v_2 \) km/h.

Theo đề bài, hai người đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Tổng quãng đường mà họ đi được khi gặp nhau là 38 km. Do đó, ta có phương trình:

\[
(v_1 + v_2) \times 2 = 38
\]

Từ đó suy ra:

\[
v_1 + v_2 = 19 \quad \text{(1)}
\]

Theo thông tin trong bài, người thứ nhất đã đi xa hơn người thứ hai 2 km. Nghĩa là:

\[
v_1 \times 2 = v_2 \times 2 + 2
\]

Rút gọn phương trình này, ta có:

\[
v_1 = v_2 + 1 \quad \text{(2)}
\]

Bây giờ ta có hệ hai phương trình từ (1) và (2):

1. \( v_1 + v_2 = 19 \)
2. \( v_1 = v_2 + 1 \)

Thay (2) vào (1):

\[
(v_2 + 1) + v_2 = 19
\]

Giải phương trình này:

\[
2v_2 + 1 = 19
\]
\[
2v_2 = 18
\]
\[
v_2 = 9
\]

Thay giá trị của \( v_2 \) vào (2):

\[
v_1 = 9 + 1 = 10
\]

Vậy vận tốc của người thứ nhất là \( \boxed{10} \) km/h.