Để tính giá trị của \( A \), ta bắt đầu với biểu thức trong mẫu số:

\[
1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{2019}
\]

Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu là \( 1 \) và tỷ lệ là \( 3 \). Số hạng cuối là \( 3^{2019} \), và tổng số hạng là \( 2020 \) (từ \( 0 \) đến \( 2019 \)). Công thức tổng của một cấp số nhân là:

\[
S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}
\]

Trong đó \( a \) là số hạng đầu (1), \( r \) là tỷ lệ (3), và \( n \) là số hạng (2020). Áp dụng công thức:

\[
\text{Tổng} = \frac{1(1-3^{2020})}{1-3} = \frac{1-3^{2020}}{-2} = \frac{3^{2020} - 1}{2}
\]

Giờ ta đến mẫu số:

\[
3^{2019} + 1
\]

Kết hợp lại ta có:

\[
A = \frac{3^{2019} + 1}{\frac{3^{2020} - 1}{2}}
= \frac{(3^{2019} + 1) \cdot 2}{3^{2020} - 1}
\]

Rút gọn:

\[
A = \frac{2(3^{2019} + 1)}{3^{2020} - 1}
\]

Thay \( 3^{2020} = 3 \cdot 3^{2019} \), ta có:

\[
A = \frac{2(3^{2019} + 1)}{3 \cdot 3^{2019} - 1}
\]

Cuối cùng, đặt \( x = 3^{2019} \):

\[
A = \frac{2(x + 1)}{3x - 1}
\]

Đây là giá trị cuối cùng của \( A \).