Cho hệ phương trình hai ẩn x, y với m là tham số. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai đường thẳng có phương trình (1) và (2)

Để giải hệ phương trình này, ta bắt đầu với hai phương trình như sau:

1. \( mx - y = 2 \) (1)
2. \( (2 - m)x + y = m \) (2)

### a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của \( m \), đường thẳng (1) đi qua điểm cố định B và đường thẳng (2) đi qua điểm cố định C.

**Bước 1:** Tìm tọa độ của điểm cố định B.

Từ phương trình (1):
\[
y = mx - 2
\]
Thay \( x = 0 \) vào phương trình để tìm \( y \):
\[
y = m(0) - 2 = -2
\]
Vậy, điểm B có tọa độ \( (0, -2) \).

**Bước 2:** Tìm tọa độ của điểm cố định C.

Từ phương trình (2):
\[
y = m - (2 - m)x
\]
Thay \( x = 0 \) vào phương trình để tìm \( y \):
\[
y = m
\]
Vậy, điểm C có tọa độ \( (0, m) \).

### b) Tìm m để giao điểm A của hai đường thẳng thỏa mãn điều kiện góc BAC vuông.

**Bước 1:** Tìm giao điểm A.

Giải hệ hai phương trình (1) và (2):
Từ (1), ta có:
\[
y = mx - 2
\]
Thay vào (2):
\[
(2 - m)x + (mx - 2) = m
\]
Sắp xếp lại:
\[
(2 - m + m)x - 2 = m \rightarrow 2x - 2 = m \rightarrow 2x = m + 2 \rightarrow x = \frac{m+2}{2}
\]
Thay \( x \) vào phương trình để tìm \( y \):
\[
y = m\left(\frac{m + 2}{2}\right) - 2 = \frac{m^2 + 2m - 4}{2}
\]
Vậy, tọa độ A là \( \left( \frac{m+2}{2}, \frac{m^2 + 2m - 4}{2} \right) \).

**Bước 2:** Tính độ dốc và sử dụng điều kiện góc vuông.

Độ dốc đường thẳng AB:
\[
k_{AB} = \frac{\frac{m^2 + 2m - 4}{2} + 2}{\frac{m+2}{2}} = \frac{m^2 + 2m}{m + 2}
\]

Độ dốc đường thẳng AC:
Dễ dàng tính được từ điểm C:
\[
k_{AC} = \frac{m - \frac{m^2 + 2m - 4}{2}}{0 - \frac{m + 2}{2}} = \frac{\frac{-m^2 + 4}{2}}{-\frac{m + 2}{2}} = \frac{4 - m^2}{m + 2}
\]

**Điều kiện góc vuông:**
\[
k_{AB} \cdot k_{AC} = -1
\]
Thay các biểu thức vào:
\[
\frac{m^2 + 2m}{m + 2} \cdot \frac{4 - m^2}{m + 2} = -1
\]

Giải phương trình trên để tìm giá trị của \( m \).

Có thể áp dụng phương pháp phân tích hoặc thử nghiệm giá trị \( m \) để tìm nghiệm.