Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần:

### a) Tìm điều kiện xác định của A

Biểu thức \( A \) đã cho là:

\[
A = \left( \frac{1}{x + 2\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \right) \cdot \frac{-\sqrt{x}}{x + 4\sqrt{x} + 4}
\]

1. **Xác định các điều kiện không xác định**:
- **Mẫu số không được bằng 0**:
- \( x + 2\sqrt{x} \neq 0 \)
- \( \sqrt{x} + 2 \neq 0 \)
- \( x + 4\sqrt{x} + 4 \neq 0 \)

2. **Giải từng điều kiện**:
- \( x + 2\sqrt{x} = 0 \):
- \( \sqrt{x}(-\sqrt{x} + 2) = 0 \) → \( \sqrt{x} = 0 \) (suy ra \( x = 0 \)) hoặc \( -\sqrt{x} + 2 = 0\) (suy ra \( \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4 \)).

- \( \sqrt{x} + 2 = 0 \): Không có giá trị thực (vì \( \sqrt{x} \geq 0 \)).

- \( x + 4\sqrt{x} + 4 = 0 \):
- Chuyển về dạng \( \sqrt{x} \): Ta có \( y = \sqrt{x} \) → \( y^2 + 4y + 4 = 0 \) → \( (y + 2)^2 = 0 \) → duy nhất \( y = -2\) (không có giá trị thực).

3. **Kết luận**:
- Điều kiện xác định của A là \( x \neq 0 \) và \( x \neq 4 \).

### b) Rút gọn biểu thức A

Đầu tiên, xử lý phần trong dấu ngoặc:

\[
\frac{1}{x + 2\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{(\sqrt{x} + 2) - (x + 2\sqrt{x})}{(x + 2\sqrt{x})(\sqrt{x} + 2)}
\]

Sắp xếp lại:

\[
= \frac{2 - x}{(x + 2\sqrt{x})(\sqrt{x} + 2)}
\]

Tiếp theo là nhân với phần \(\frac{-\sqrt{x}}{x + 4\sqrt{x} + 4}\):

\[
A = \frac{(2 - x)(-\sqrt{x})}{(x + 2\sqrt{x})(\sqrt{x} + 2)(x + 4\sqrt{x} + 4)}
\]

### c) Tìm x để \( A = \frac{5}{3} \)

Giải phương trình:

\[
\frac{(2 - x)(-\sqrt{x})}{(x + 2\sqrt{x})(\sqrt{x} + 2)(x + 4\sqrt{x} + 4)} = \frac{5}{3}
\]

Nhân chéo và giải phương trình để tìm giá trị của \( x \).

### Kết luận

Để nhận được kết quả chính xác cho \( x \), bạn cần tiếp tục giải phương trình sau khi đã rút gọn \( A \).
Cần chú ý là không lấy các giá trị đã bị loại ở phần (a).