Để tính độ dài cạnh tam giác ABC vuông tại A, chúng ta có thể sử dụng các công thức về diện tích và độ dài đường cao của tam giác vuông.

1. **Diện tích tam giác ABC**:
Công thức diện tích của tam giác là:
\[
S = \frac{1}{2} \times \text{độ dài cạnh đáy} \times \text{độ dài chiều cao}
\]
Ta có:
\[
S_{ABC} = 20 \text{ cm}^2
\]
Đường cao AH từ đỉnh A xuống cạnh BC là 4 cm. Gọi cạnh đáy BC là c. Ta có phương trình:
\[
20 = \frac{1}{2} \times c \times 4
\]
Giải phương trình trên:
\[
20 = 2c \implies c = 10 \text{ cm}
\]

2. **Cạnh AB và AC**:
Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\[
c^2 = AB^2 + AC^2
\]
Gọi AB = a và AC = b. Ta có:
\[
10^2 = a^2 + b^2 \implies 100 = a^2 + b^2
\]

3. **Thay thế AH vào phương trình**:
Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta biết rằng:
\[
AH^2 = \frac{AB \times AC}{AB + AC}
\]
Thay AH = 4:
\[
4^2 = \frac{a \cdot b}{a + b} \implies 16 = \frac{ab}{a + b}
\]
Từ đây ta có thể đặt \(S = a + b\) và \(P = ab\) và viết lại phương trình:
\[
16 = \frac{P}{S}
\implies P = 16S
\]

4. **Giải hệ phương trình**:
Ta đã có hai phương trình:
\[
P = ab = 16S
\]
\[
a^2 + b^2 = 100 \text{ (1)}
\]

Từ \(S = a + b\), ta có:
\[
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
\]
Thay thế ta có:
\[
100 = S^2 - 2(16S) \implies S^2 - 32S - 100 = 0
\]

5. **Giải phương trình bậc 2**:
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:
\[
S = \frac{-(-32) \pm \sqrt{(-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
S = \frac{32 \pm \sqrt{1024 + 400}}{2} = \frac{32 \pm \sqrt{1424}}{2}
\]
\[
S = \frac{32 \pm 37.7}{2}
\]
Tính ra \(S \approx 34.85 \text{ hoặc } -2.85\).

Số dương hợp lý sẽ là \(S \approx 34.85\), bây giờ chúng ta có thể tính lại \(P\):
\[
P = 16S \approx 16 \times 34.85 \approx 557.6.
\]

6. **Tính cạnh AB và AC** bằng phương trình \(a\) và \(b\):
Tuy nhiên, vì ta đã sử dụng cách khác, phương pháp ở đây không cho ra cụ thể, nhưng điều này cho thấy các cạnh có thể được tính ra dựa trên ba điều kiện (cạnh) đã cho.

Kết quả cuối cùng:
- Chiều dài cạnh BC (c) là 10 cm.
- Cạnh AB và AC có thể được tính thêm nhưng chưa cho ra số thực.

**Do đó, kết luận là các cạnh không thể xác định chính xác bằng giá trị đã cho, nhưng c cạnh của tam giác ABC là 10 cm**.