Dưới đây là cách giải từng phương trình:

### a) \( x^2 - 1 = \frac{16}{9} \)
1. Cộng 1 vào cả hai vế:
\[
x^2 = \frac{16}{9} + 1 = \frac{16}{9} + \frac{9}{9} = \frac{25}{9}
\]
2. Lấy căn bậc hai:
\[
x = \pm \frac{5}{3}
\]

### b) \( 2(x + 1)^2 - 1 = 31 \)
1. Cộng 1 vào cả hai vế:
\[
2(x + 1)^2 = 32
\]
2. Chia cho 2:
\[
(x + 1)^2 = 16
\]
3. Lấy căn bậc hai:
\[
x + 1 = \pm 4
\]
4. Giải ra:
\[
x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -5
\]

### c) \( 2\sqrt{x - 1} = 9 \)
1. Chia cho 2:
\[
\sqrt{x - 1} = \frac{9}{2}
\]
2. Bình phương cả hai vế:
\[
x - 1 = \left(\frac{9}{2}\right)^2 = \frac{81}{4}
\]
3. Cộng 1 vào cả hai vế:
\[
x = \frac{81}{4} + 1 = \frac{81}{4} + \frac{4}{4} = \frac{85}{4}
\]

### d) \( \sqrt{x} + 2 = 1 \)
1. Trừ 2:
\[
\sqrt{x} = 1 - 2 = -1
\]
Không có nghiệm vì căn bậc hai không thể âm.

### e) \( \sqrt{1 - x} = \frac{2}{3} \)
1. Bình phương cả hai vế:
\[
1 - x = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}
\]
2. Trừ 1:
\[
-x = \frac{4}{9} - 1 = \frac{4}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{5}{9}
\]
3. Nhân với -1:
\[
x = \frac{5}{9}
\]

### Tóm tắt nghiệm:
- a) \( x = \pm \frac{5}{3} \)
- b) \( x = 3 \) hoặc \( x = -5 \)
- c) \( x = \frac{85}{4} \)
- d) Không có nghiệm
- e) \( x = \frac{5}{9} \)