Để giải phương trình \( 3 \cdot 49^x = 35 \cdot 7^{2011} - 14 \cdot 7^{2011} \), trước tiên, ta có thể đơn giản hóa vế bên phải.

\[ 35 \cdot 7^{2011} - 14 \cdot 7^{2011} = (35 - 14) \cdot 7^{2011} = 21 \cdot 7^{2011} \]

Vậy phương trình trở thành:

\[ 3 \cdot 49^x = 21 \cdot 7^{2011} \]

Tiếp theo, ta biết rằng \( 49 = 7^2 \), do đó:

\[ 49^x = (7^2)^x = 7^{2x} \]

Thay vào phương trình, ta có:

\[ 3 \cdot 7^{2x} = 21 \cdot 7^{2011} \]

Chia cả hai vế của phương trình cho \( 3 \):

\[ 7^{2x} = 7^{2011} \cdot 7^{\frac{21}{3}} \]
\[ 7^{2x} = 7^{2011 + 2} \]
\[ 7^{2x} = 7^{2013} \]

Vì cùng cơ số, ta có thể so sánh số mũ:

\[ 2x = 2013 \]

Chia cả hai bên cho 2:

\[ x = \frac{2013}{2} = 1006.5 \]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[ x = 1006.5 \]