Tìm x, y nguyên dương sao cho:

Để tìm các cặp số nguyên dương \( (x, y) \) thỏa mãn điều kiện \( x^2 + \frac{2}{xy} + 2 \) là số nguyên dương, chúng ta có thể phân tích bài toán như sau:

Ta có biểu thức:
\[
x^2 + \frac{2}{xy} + 2
\]

Để \( \frac{2}{xy} \) là số nguyên, \( xy \) phải là ước của 2. Các ước của 2 là 1 và 2, vì vậy ta có hai trường hợp:

1. **Trường hợp 1**: \( xy = 1 \)
- Không có cặp \( (x, y) \) nguyên dương nào thỏa mãn điều kiện này, vì \( x \) và \( y \) phải là các số nguyên dương.

2. **Trường hợp 2**: \( xy = 2 \)
- Các cặp \( (x, y) \) nguyên dương thỏa mãn \( xy = 2 \) là: \( (1, 2) \) và \( (2, 1) \).

Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra xem các cặp này có làm cho biểu thức ban đầu là số nguyên dương hay không.

- Với \( (x, y) = (1, 2) \):
\[
x^2 + \frac{2}{xy} + 2 = 1^2 + \frac{2}{1 \cdot 2} + 2 = 1 + 1 + 2 = 4 \quad (\text{số nguyên dương})
\]

- Với \( (x, y) = (2, 1) \):
\[
x^2 + \frac{2}{xy} + 2 = 2^2 + \frac{2}{2 \cdot 1} + 2 = 4 + 1 + 2 = 7 \quad (\text{số nguyên dương})
\]

Vậy, các cặp số nguyên dương \( (x, y) \) thỏa mãn điều kiện là:
- \( (1, 2) \)
- \( (2, 1) \)