Để tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức \( A \) và \( B \), chúng ta sẽ phân tích từng biểu thức một.

### a) \( A = 2,25 - \frac{1}{4} |1 + 2x| \)

- Hàm số thành phần \( |1 + 2x| \) có giá trị không âm (không thể âm) và đạt giá trị lớn hơn hoặc bằng 0.
- Giá trị lớn nhất của \( |1 + 2x| \) xảy ra khi \( 1 + 2x = 0 \) hoặc giá trị khác, và sẽ phụ thuộc vào giá trị của \( x \).

Xét trường hợp:

1. Khi \( 1 + 2x = 0 \) thì \( |1 + 2x| = 0 \) và \( A = 2,25 \).
2. Khi \( 1 + 2x \) tiến tới vô cực hoặc âm vô cực, \( A \) sẽ giảm xuống.

Do đó, giá trị lớn nhất của \( A \) là \( 2,25 \).

### b) \( B = \frac{1}{3 + \frac{1}{2} |2x - 3|} \)

- Hàm số này có một mẫu số phụ thuộc vào \( |2x - 3| \), nên trước tiên ta cần tính giá trị lớn nhất của mẫu:

- Mẫu số \( 3 + \frac{1}{2} |2x - 3| \) sẽ đạt giá trị tối thiểu khi \( |2x - 3| \) là nhỏ nhất (bằng 0), tức là khi \( 2x - 3 = 0 \) hoặc \( x = \frac{3}{2} \).

- Khi \( x = \frac{3}{2} \):
\[
B = \frac{1}{3 + \frac{1}{2} \cdot 0} = \frac{1}{3} \approx 0,3333.
\]

- Khi \( |2x - 3| \) tăng lên, mẫu số sẽ tăng, do đó \( B \) sẽ giảm.

Vì vậy, giá trị lớn nhất của \( B \) là \( \frac{1}{3} \).

### Kết luận:
- Giá trị lớn nhất của \( A \) là \( 2,25 \).
- Giá trị lớn nhất của \( B \) là \( \frac{1}{3} \).