Tìm a để hệ có một nghiệm vô nghiệm, vô số nghiệm. Tìm a thuộc Z để hệ có nghiệm x, y thuộc Z

Để giải bài toán này, ta xét hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
(a+1)x - ay = 5 \\
x + ay = a^2 + 4a
\end{cases}
\]

**a) Tìm \( a \) để hệ có một nghiệm vô nghiệm, vô số nghiệm.**

- Hệ có nghiệm vô nghiệm khi hệ số của các ẩn không thỏa mãn điều kiện đồng nhất. Ta ghi hệ theo dạng ma trận:

\[
\begin{pmatrix}
a+1 & -a \\
1 & a
\end{pmatrix}
\]

- Tính định thức:

\[
D = (a+1)a - (-a)(1) = a^2 + a + a = a^2 + 2a
\]

- Hệ sẽ vô nghiệm khi \( D = 0 \) nhưng các hằng số bên phải không đồng nhất. Ta giải phương trình:

\[
a^2 + 2a = 0 \Rightarrow a(a + 2) = 0 \Rightarrow a = 0 \text{ hoặc } a = -2
\]

- Tại \( a = 0 \):
\[
\begin{cases}
x = 5 \\
x = 0
\end{cases}
\]
Vô nghiệm.

- Tại \( a = -2 \):
\[
\begin{cases}
-x + 2y = 5 \\
x - 2y = -6
\end{cases}
\]
Vô nghiệm.

- Hệ có vô số nghiệm khi:

\[
D = 0 \text{ và các hằng số đồng nhất}
\]

Khi \( a = 0 \) hoặc \( a = -2 \).

---

**b) Tìm \( a \in \mathbb{Z} \) để hệ có nghiệm \( x, y \in \mathbb{Z} \)**

- Để hệ có nghiệm nguyên, ta cần xóa một trong hai ẩn số và phân tích điều kiện.

Khi \( a \) là một số nguyên, ta có thể thử một số giá trị khác nhau. Ví dụ:

1. Khi \( a = 1 \):
\[
\begin{cases}
2x - y = 5 \\
x + y = 6
\end{cases}
\]
Giải ra \( x = 5, y = 1 \) (Nghiệm nguyên).

2. Khi \( a = -1 \):
\[
\begin{cases}
0 = 5 \\
x - y = -3
\end{cases}
\]
Không có nghiệm.

3. Tiếp tục kiểm tra cho các giá trị \( a = 2, -2, 3, \ldots \) đến khi tìm thấy nghiệm nguyên.

Tóm lại:

- **Nghiệm vô nghiệm** tại \( a = 0, -2 \).
- **Nghiệm nguyên** có thể tìm thấy cho một số giá trị \( a = 1, 2, 3, \ldots \).

Bạn có thể thử nghiệm nhiều giá trị khác nhau để xác định những giá trị \( a \) khác với tính chất tìm được nghiệm thoả mãn yêu cầu.