Để tìm giá trị của \( M = \frac{\cos A - \sin A}{\cos A + \sin A} \) khi \( \tan A = \frac{1}{3} \), trước tiên, ta cần xác định giá trị của \( \sin A \) và \( \cos A \).

Từ \( \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{1}{3} \), ta có:

\[
\sin A = k \quad \text{và} \quad \cos A = 3k
\]

Để đảm bảo \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\), ta có:

\[
k^2 + (3k)^2 = 1 \\
k^2 + 9k^2 = 1 \\
10k^2 = 1 \\
k^2 = \frac{1}{10} \\
k = \frac{1}{\sqrt{10}}
\]

Từ đó, ta tìm được:

\[
\sin A = \frac{1}{\sqrt{10}} \quad \text{và} \quad \cos A = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}
\]

Giờ ta sẽ tính \( M \):

\[
M = \frac{\cos A - \sin A}{\cos A + \sin A} = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}} - \frac{1}{\sqrt{10}}}{\frac{3}{\sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{10}}}
\]

L simplify M:

\[
M = \frac{\frac{3 - 1}{\sqrt{10}}}{\frac{3 + 1}{\sqrt{10}}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{10}}}{\frac{4}{\sqrt{10}}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]

Vậy giá trị của \( M \) là:

\[
\boxed{\frac{1}{2}}
\]