Để chứng minh phương trình \( P(x) = x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 3x + 2 = 0 \) là vô nghiệm, chúng ta có thể sử dụng một số phương pháp, như kiểm tra giá trị của hàm số và các đặc tính của đa thức.

1. **Tính giá trị của đa thức tại các giá trị cụ thể**:
- Tính giá trị của \( P(0) \):
\[
P(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^3 + 4 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 2
\]

- Tính giá trị của \( P(1) \):
\[
P(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^3 + 4 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 2 + 4 - 3 + 2 = 2
\]

- Tính giá trị của \( P(-1) \):
\[
P(-1) = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^3 + 4 \cdot (-1)^2 - 3 \cdot (-1) + 2 = 1 + 2 + 4 + 3 + 2 = 12
\]

- Tính giá trị của \( P(2) \):
\[
P(2) = 2^4 - 2 \cdot 2^3 + 4 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 16 - 16 + 16 - 6 + 2 = 12
\]

Từ các giá trị trên, ta có:
- \( P(0) = 2 \)
- \( P(1) = 2 \)
- \( P(-1) = 12 \)
- \( P(2) = 12 \)

Có vẻ như phương trình không có giá trị âm nào ở miền này. Ta sẽ kiểm tra thêm các giá trị âm khác.

- Tính giá trị của \( P(-2) \):
\[
P(-2) = (-2)^4 - 2 \cdot (-2)^3 + 4 \cdot (-2)^2 - 3 \cdot (-2) + 2 = 16 + 16 + 16 + 6 + 2 = 56
\]

Từ kết quả trên, có thể thấy rằng không có giá trị nào cho \( P(x) \) ở các giá trị \( x = 0, 1, -1, 2, -2 \) và giá trị của \( P(x) \) luôn dương.

2. **Xét đạo hàm của \( P(x) \)**:
Xét \( P'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 8x - 3 \).
Để tìm các cực trị của hàm \( P(x) \), ta cần giải phương trình \( P'(x) = 0 \). Tuy nhiên, để đơn giản, ta có thể kiểm tra dấu của \( P'(x) \) tại các giá trị cụ thể:
- \( P'(0) = -3 \) (âm)
- \( P'(1) = 3 \) (dương)
- \( P'(-1) = 21 \) (dương)
- \( P'(2) = 21 \) (dương)

Như vậy, hàm số \( P(x) \) có cực trị và có khả năng tăng dần tại nhiều đoạn, mà không có giá trị âm.

3. **Xét tổng quát đạo hàm bậc hai**:
Tính \( P''(x) = 12x^2 - 12x + 8 \). Đây là một hàm bậc hai luôn dương (vì \( a = 12 > 0 \)), cho thấy rằng \( P'(x) \) đang tăng.

Kết luận lại:
- \( P(x) \) không có nghiệm trong miền các số thực, do tất cả các giá trị tính toán ở trên đều dương và hoàn toàn không có bất kỳ giá trị nào âm.

Vậy, phương trình \( x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 3x + 2 = 0 \) là vô nghiệm.