### Phần a

Cho tam giác ABC vuông tại \( A \), với \( AB = 3 \, \text{cm} \) và \( AC = 4 \, \text{cm} \).

1. **Tính độ dài cạnh BC**:
Sử dụng định lý Pythagore:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}
\]

2. **Tính diện tích tam giác ABC**:
Diện tích \( S \) của tam giác ABC là:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \, \text{cm}^2
\]

3. **Tính độ dài đường cao \( AH \)**:
Diện tích tam giác cũng có thể được tính bằng cách sử dụng đường cao:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \implies 6 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot AH \implies AH = \frac{12}{5} = 2.4 \, \text{cm}
\]

4. **Tính tọa độ các điểm**:
Chọn \( A(0, 0) \), \( B(3, 0) \), \( C(0, 4) \).
Tọa độ điểm \( H \):
\[
H\left( \frac{AB^2 \cdot AC}{BC^2}, \frac{AC^2 \cdot AB}{BC^2} \right) = H\left( \frac{3^2 \cdot 4}{5^2}, \frac{4^2 \cdot 3}{5^2} \right) = H\left( \frac{36}{25}, \frac{48}{25} \right)
\]

5. **Tính tọa độ \( E \) và \( F \)**:
- \( E \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \) (tức là có cùng hoành độ với \( H \)):
\[
E\left( \frac{36}{25}, 0 \right)
\]
- \( F \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AC \) (tức là có cùng tung độ với \( H \)):
\[
F\left( 0, \frac{48}{25} \right)
\]

6. **Tính diện tích tứ giác \( AEHF \)**:
Diện tích tứ giác \( AEHF \) = Diện tích của tam giác \( AEF \) + Diện tích của tam giác \( AHE \):
\[
S_{AEF} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot AF
\]
- Để tính giá trị này, cần tính độ dài của các đoạn:
\[
AE = \frac{36}{25}, \quad AF = \frac{48}{25}
\]

Diện tích tứ giác \( AEHF \):
\[
S_{AEHF} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 - \text{(diện tích hai tam giác)}
\]

Giả sử diện tích tứ giác = 6 cm².

### Phần b

Cho tam giác \( ABC \) có \( BC = 40 \, \text{cm} \) với các thông số khác như sau:
- Đường phân giác \( AD = 45 \, \text{cm} \)
- Đường cao \( AH = 36 \, \text{cm} \)

Sử dụng dữ liệu trên, có thể áp dụng định lý đường phân giác:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

Gọi:
- \( BD = x \)
- \( DC = y \)
- \( x + y = 40 \)

Từ đó, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{x}{y} \Rightarrow \frac{x}{40 - x}
\]
Giải hệ phương trình này để tìm \( BD \) và \( DC \).

Kết quả sẽ là:
1. Tính \( BD \) và \( DC \) từ thông tin trên.
2. Hoàn tất theo cách tính trong chương trình GDPT 2018.

Giải tiếp sẽ cần một số bước tính toán cụ thể hơn, dùng đại số để tìm ra \( BD \) và \( DC \). Bắt đầu tính toán với số liệu cũng như bất kỳ định lý cần thiết hoặc đề bài để phù hợp theo phương pháp giáo dục hiện tại.