Để chứng minh các phần của bài toán hình học này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo thứ tự.

**a)** Chứng minh \( \triangle NCD \cong \triangle AMD \):
- Đầu tiên, ta có hai góc \(\angle NAM = \angle DAC\) (do tia phân giác).
- Tiếp theo, ta cũng có \(\angle NDC = \angle ADM\) (do tia phân giác).
- Cuối cùng, cạnh \(AD = DC\) (đặc điểm của hình bình hành).
- Do đó, theo tiêu chuẩn góc-góc-cạnh (GGC), \( \triangle NCD \cong \triangle AMD\).

---

**b)** Chứng minh tứ giác \( AMCN \) là hình bình hành:
- Từ giả thiết đã chứng minh ở phần a, ta có \( \triangle NCD \cong \triangle AMD\).
- Buộc từ đó, cạnh \(AN = MC\) và \(AM = CN\) (cạnh đối bằng nhau trong hai tam giác).
- Hơn nữa, ta cũng có \( \angle AMC = \angle ANC\).
- Suy ra tứ giác \(AMCN\) có hai cặp cạnh đối bằng nhau và các góc đối bằng nhau, do đó \(AMCN\) là hình bình hành.

---

**c)** Gọi \( O \) là trung điểm của \( AC \). Chứng minh \( AC \parallel MN \) và \( AC \) đồng quy tại \( O \):
- Vì \( O \) là trung điểm của \( AC \), ta có \( AO = OC\).
- Từ tính chất bất đẳng thức trong hình bình hành, ta có \( AC \parallel MN\) khi chứng minh được các góc ở giao điểm tương ứng bằng nhau (vì \(AMCN\) là hình bình hành, các góc liên quan đến các đoạn thẳng này đều được bảo toàn).
- Cuối cùng, vì \(M\), \(N\) là điểm phân giác, và \(O\) là trung điểm của \(AC\), do đó các đường chéo sẽ cắt nhau tại \(O\).

Như vậy, ta đã giải quyết xong bài toán theo từng yêu cầu.