Để chứng minh các kết quả trong bài toán này, ta sẽ sử dụng điều kiện \( b^2 = ac \) và \( c^2 = bd \).

### Phần a:

Ta cần chứng minh:

\[
\frac{a^3 + b^3 - c^3}{b^3 + c^3 - d^3} = \left( \frac{a+b-c}{b+c-d} \right)^3
\]

**Chứng minh:**

1. Xét tử và mẫu của biểu thức bên trái. Áp dụng công thức phân tích đa thức:

\[
a^3 + b^3 - c^3 = (a+b-c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac + bc)
\]

\[
b^3 + c^3 - d^3 = (b+c-d)(b^2 + c^2 + d^2 - bc - bd + cd)
\]

2. Như đã cho, từ điều kiện \( b^2 = ac \) và \( c^2 = bd \), ta sẽ thay thế giá trị tương ứng cho các đa thức.

3. Sau đó, ta thay vào hai biểu thức trên và thực hiện rút gọn.

### Phần b:

Ta cần chứng minh:

\[
\frac{a^3 + 8b^3 + 27c^3}{b^3 + 8c^3 + 27d^3} = \frac{a}{d}
\]

**Chứng minh:**

1. Sử dụng công thức hiệu của lập phương, ta có:

\[
a^3 + 8b^3 + 27c^3 = (a + 2b + 3c)(a^2 - 2ab + 4b^2 - 6ac + 9c^2)
\]

\[
b^3 + 8c^3 + 27d^3 = (b + 2c + 3d)(b^2 - 2bc + 4c^2 - 6bd + 9d^2)
\]

2. Một lần nữa, áp dụng các điều kiện đã cho \( b^2 = ac \) và \( c^2 = bd \), ta thực hiện thay thế các giá trị.

3. Sử dụng biến đổi đại số và rút gọn, ta sẽ dễ dàng thấy rằng:

\[
\frac{a}{d}
\]

### Kết luận:

Đây là các bước chứng minh cho từng phần của bài toán. Các phép biến đổi và thay thế dựa trên điều kiện đã cho sẽ giúp chúng ta đi đến kết quả mong muốn.