Để chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm A bán kính AH trong tam giác ABC với AH là đường cao từ đỉnh A đến cạnh BC, ta tiến hành như sau:

1. **Định nghĩa tiếp tuyến**: Theo định nghĩa, một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn nếu nó chỉ cắt đường tròn tại một điểm duy nhất.

2. **Vận dụng tính chất của đường cao**: Theo định nghĩa của đường cao, điểm H là chân đường cao hạ từ A xuống BC. Như vậy, AH vuông góc với BC tại H.

3. **Tính chất của đường tròn**: Đường tròn tâm A bán kính AH có phương trình là tất cả những điểm cách A một khoảng AH. H là điểm trên đường tròn này vì AH là bán kính.

4. **Xét góc**: Ta có hình thang AHC. Từ tính chất vuông góc của đường cao, ta có:
- Góc AHB = 90 độ
- Góc AHC cũng bằng 90 độ.

5. **Xét chu vi của đường tròn**: Vì BC không cắt AH (đường thẳng này chỉ chạm vào AH tại điểm H) nên BC chỉ có thể cắt đường tròn tại điểm H.

6. **Kết luận**: Theo định nghĩa về tiếp tuyến, ta có thể khẳng định rằng BC chỉ chạm vào đường tròn tại một điểm duy nhất là H. Do đó, BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm A bán kính AH.

Vậy ta đã chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm A bán kính AH.