Tóm tắt:

D = ST = 2m;

a) tìm d_tối biết d = 20 cm và SM = 50 cm.

b) MM₁ =? Để d’_tối = ½ d_tối.

c) v = 2m/s tìm V_tối =?

d) vật sáng d₁ =8cm. Tìm SM để d_tối . Tìm S_tối và S_{nửa tối}.

Bài giải:

a) Ta có hình vẽ:

a) Bán kính vùng tối trên tường là PT. ST = 2m = 200 cm.

∆SIM và ∆SPT là 2 tam giác vuông đồng dạng  nên bán kính vùng tối là

⇒IMPT=SMST⇔PT=STSM.IM=20050.d2=40cm  

Vậy đường kính vùng tối là d_tối = 2.PT = 80 cm

b) Từ hình vẽ ta thấy để bán kính vùng tối giảm xuống  ta phải di chuyển tấm bìa về phía tường đến vị trí M₁

Gọi P₁T là bán kính bóng đen lúc này P₁T = 1/2PT = 20 cm

∆SIM và ∆SPT là 2 tam giác vuông đồng dạng nên

⇒I1M1P1T=SM1ST⇔SM1=I1M1P1T.ST=2040.200=100

Vậy cần di chuyển tấm bìa về phía tường một đoạn

M₁M = SM₁ -  SM = 100-50=50 cm.

c) Khi tấm bìa di chuyển  đều với vận tốc v = 2m/s = 200 cm/s

và đi được quãng đường M₁M = 50cm

thì mất thời gian  t=M1Mv=50200=0,25(s).

Cũng trong khoảng thời gian đó đường kính của vùng tối thay đổi một đoạn là

PP₁ = PT – P₁T =  80– 40 = 40 cm

Vậy tốc độ thay đổi của bán kính vùng tối là

V’ = P1Pt=400,25=160cm/s=1,6m/s

d)

Ta lại có:

ΔPMN~ΔPA1B1⇒POPI1=MNA1B1=820=25⇒PO=25PI⇒PO=25.1003=403cm

mà OI₁ = PI₁ – PO =1003−403=603=20cm.

Vậy cần đặt đĩa chắn sáng cách tâm vật sáng hình cầu là 20 cm

*) Gọi K là giao điểm của NA₂ và MB₂

Ta có

ΔKMN~ΔKA1B1⇒KOKI1=MNA1B1=820=25⇒KO = 25KI1=25(OI1- OK) = 25OI1 - 25OK⇒25OI1=75OK⇒OK=27OI1=407cm⇒KI1=52OK=1007cm

Mặt khác ta có:

ΔKA1B1~ΔKA2B2⇒KI1KI'=A1B1A2B2⇒A2B2=KI'KI1A1B1=KI1+I1I'KI1A1B1=1007+100100720=160cm

Vậy diện tích vùng nửa tối là:

S = π.A2B224−π.A'B'24=π4(A2B22−A'B'2)=3.144(1602−802)=15.72cm2