a, Xét tứ giác ADMO có:

∠DMO = 900 (do M là tiếp tuyến của (O))

∠DAO = 900 (do AD là tiếp tuyến của (O))

=> ∠DMO + ∠DAO = 1800

=> Tứ giác ADMO là tứ giác nội tiếp

b, Do D là giao điểm của 2 tiếp tuyến DM và DA nên OD là tia phân giác của ∠AOM

=>(AOD = 1/2∠AOM

Mặt khác ta có (ABM là góc nội tiếp chắn cung AM)

=> ∠ABM = 1/2∠AOM

=> ∠AOD = ∠ABM

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> OD // BM

Xét tam giác ABN có:

OM// BM; O là trung điểm của AB

=> D là trung điểm của AN

c, Ta có: ΔOBM cân tại O; OE ⊥ MB => OE là đường trung trực của MB

=> EM = EB = > ΔMEB cân tại E => ∠EMB = ∠EBM (1)

ΔOBM cân tại O => ∠OMB = ∠OBM (2)

Cộng (1) và (2) vế với vế, ta được:

∠EMB + ∠OMB = ∠EBM + ∠OBM ⇔ ∠EMO =∠EBO ⇔ ∠EBO = 90^o

=>OB ⊥ BE

Vậy BE là tiếp tuyến của (O)

d, Lấy điểm E trên tia OA sao cho OE = OA/3

Xét tam giác ABI có OI vừa là đường cao vừa là trung tuyến

=> Tam giác ABI cân tại I => IA = IB; ∠IBA = ∠IAB

Ta có:

=> ∠NAI = ∠INA => ΔINA cân tại I => IA = IN

Tam giác NAB vuông tại A có: IA = IN = IB

=> IA là trung tuyến của tam giác NAB

Xét ΔBNA có:

IA và BD là trung tuyến; IA ∩ BD = {J}

=> J là trọng tâm của tam giác BNA

Xét tam giác AIO có:

AJAI = AEAO = 23

=> JE // OI

=> J nằm trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng bằng R/3.

Phần đảo: Lấy điểm J' bất kì thuộc đường thẳng d

Do d // OI (cùng vuông góc AB) nên ta có:

AJ'AI = AEAO

Mà AEAO = 23 => AJ'AI = 23

AI là trung tuyến của tam giác NAB

=> J' là trọng tâm tam giác NAB

Vậy khi M di chuyển trên (O) thì J di chuyển trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng là R/3