Gọi H là tiếp điểm của đường tròn (I) với BC.

Ta có: IH ⊥ BC (tính chất tiếp tuyến)

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI là tia phân giác của góc BAC

Tam giác ABC đều nên AI cũng là đường cao của tam giác ABC. Khi đó A, I, H thẳng hàng

Ta có: HB = HC (tính chất tam giác đều)

Tam giác ABC đều nên I cũng là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra: AH = 3.HI = 3.r